《高等数学》不定积分课后习题详细讲解

不定积分 容概要

名称 不 定 积 分 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 定 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 积 分 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I主要容 上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则的 注：概 念 性 性质1：d?f(x)dx??f(x)dx； f(x)dx??f(x)或d???????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： 算 第一换?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 方 元 法 积分法 （凑微分法） 第二类 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，则 换元积 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?分法 分部积?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 分法 有理函若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对数积分 真分式的处理按情况确定。 ?1(x))?C 本在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求章 被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分的还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更地 是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论位中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完与 全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体作用 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)?dxx2会到！ x

1x2思路: 被积函数 解：?dxx2?52x?x3?52，由积分表中的公式（2）可解。

2?2??xdx??x?C

3x1x)dx

★(2)?(3x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?(3x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?3x3?2x2?C

4x??11312131241★(3)?（2x?x2）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)?x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1dx ★★(5)?x2?13x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，x2?1x2?1分别积分。

3x4?3x2?112dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2dx ★★(6)?21?xx2x2?1?11?1?思路:注意到2?1?x1?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

分别积分。

x2解：?2dx??dx??12dx?x?arctanx?C.

1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

x1★(7)?（-+34-4）dx 32xxx思路:分项积分。

x1解：?（-+3411?3?4-）dx?xdx?dx?3xdx?4x34?x??dx 2xxx2?134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)?(32?)dx 221?x1?x思路:分项积分。 解：?(3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 2??221?x21?x1?x1?x★★(9)?思路:解：?xxxdx

111??248xxx?？看到xxx?x8xxxdx??xdx?x8?C.

151dx 22x(1?x)7815?x78，直接积分。

★★(10)?思路:裂项分项积分。

解：?111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. 222222???xx(1?x)x1?xx1?xe2x?1★(11)?xdx

e?1e2x?1(ex?1)(ex?1)xxdx?(e?1)dx?e?x?C. 解：?xdx??x?e?1e?1★★(12)?3xexdx

x（3e）思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3xex?。 x（3e）（3e）dx??C. 解：?3edx??ln(3e)xxx★★(13)?cot2xdx

思路:应用三角恒等式“cot2x?csc2x?1”。 解：?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C

2?3x?5?2xdx ★★(14)?3x2?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数 x332()x2x3解：?2?3?x5?2dx??（2?（5））dx?2x?5?C.

33ln2?ln3★★(15)?cos2xdx

2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：?cos2xd??1?cosxdx?1x?1sinx?C.

2222★★(16)?1dx 1?cos2x思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

11112dx??dx?secxdx?tanx?C. 1?cos2x2?22cos2x★(17)?cos2xdx

cosx?sinx解：?思路:不难，关键知道“cos2x?cos2x?sin2x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。

cos2xdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.

cosx?sinxcos2xdx ★(18)?22cosx?sinx解：?思路:同上题方法，应用“cos2x?cos2x?sin2x”，分项积分。

cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?解：?2?cos2x?sin2x?sin2x?cos2xx cosx?sin2x