2019北京海淀区高三上期中

同理A4?{a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”. 所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5.

若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3,a5的“关联子集”，与已知矛盾;

若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a5的“关联子集”，与已知矛盾;

若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a3的“关联子集”，与已知矛盾.

所以A1，A3，A5都是“关联子集”. 所以有a2?a5?a3?a4，即a5?a4?a3?a2;

a1?a5?a2?a4，即a5?a4?a2?a1; a1?a4?a2?a3，即a4?a3?a2?a1,

所以a5?a4?a4?a3?a3?a2?a2?a1.

所以a1,a2,a3,a4,a5是等差数列.

（Ⅲ）不妨设集合M?{a1,a2,L,an}（n?5），ai?N*，i?1，2,L,n，且

a1?a2?L?an.记T?{t|t?ai?aj,1?i?j?n,i,j?N*}.

因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好有Cn?2n(n?1)个元素. 2n2?n?9假设结论错误，即不存在x?M，使得x?.

4n2?n?8n2?n?9*所以任取x?M，x?.因为x?N，所以x?.

44n2?n?8n2?n?8n2?n?8n2?n??1??1??3. 所以ai?aj?44222n?n?3. 所以任取t?T，t?2任取t?T，t?1?2?3,

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n(n?1)n2?n??3}，且T中含有C2所以T?{3,4,L,个元素. n22（i）若3?T，则必有a1?1,a2?2成立.

因为n?5，所以一定有an?an?1?a2?a1成立.所以an?an?1?2.

n2?n?8n2?n?8n2?n+?2??2. 所以an?an?1?442n2?nT?{t|3?t??2,t?N*}所以.

2n2?n?8n2?n?8an=,an?1??2.

44因为4?T，所以a3?3，所以有an?a1?an?1?a3，矛盾.

所以

n2?n?3}. （ii）若3?T，则T?{4,5,L,2n(n?1)n2?n2?3,t?N*}. 而T中含有Cn?个元素,所以T?{t|4?t?22n2?n?8n2?n?8所以an=，an?1??1.

44因为4?T，所以a1?1,a2?3.

n2?nn2?n?2?T，所以?2?an?2?an. 因为22n2?n?8?2. 所以an?2?4所以an?a1?an?2?a3，矛盾.

所以命题成立.

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