奥数：6-3-1工程问题题库

13．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为14411113－＝那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷=48天。 914448481121211方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=

891872722121211÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝

14414414481，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天． 48作效率，所以乙的工作效率为

【例 5】 （难度等级 ※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌

满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？ 【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同

时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为11111，所以整池水由乙管单独灌水，1??2??2?，所以乙的工作效率为：?(6?2?2)?54101020需要1?1． ?20（小时）

20

【例 6】 （难度等级 ※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小

时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所

1??1?4(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时． 以，乙开放的时间为?1??10??1224??

【例 7】 （难度等级 ※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就

把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立

方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，

因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【例 8】 （难度等级 ※※※※）有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水

管给A水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位) 【解析】 设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B

池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为10?6?5.(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需3520?(10?)?2.4小时＝144分钟. (2)设A池需x根，那么B池需14?x根，有

35(x?):(1?4x?)2:所以有3,28?2x?3x?5,化简解得x?6.6.所以A池用7根或6根进水

3管，此时对应所需时间，分别为：

①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间20?(7?)?3管，需时间30?7?533小时=225分钟；B：7根水430小时?257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟； 7560②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间20?(6?)?小时?277分钟；B：8根水

31315管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两

4个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．

【例 9】 （难度等级 ※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10

小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？ 【解析】 法一：

11先求出甲、乙相遇的时间：1?(?)?6小时；

1015

甲清扫全长的

法二：

1312?32?乙清扫了全部的?6?；所以东、西两城相距12?????60千米． ?6?，

55105155??因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是甲行了全程的

11:?3:2， 101533?32?，乙行了全程的，全程就是12?????60千米． 3?23?2?55?

【例 10】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天

后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？ 【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为

11，乙的工作效率为，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲

912111做了(?10?1)?(?)?4天．

9912

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，

剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？

【解析】 方法一：甲的工作效率为

1?112，甲队8天的工作量为?8?，所以乙队15天的工作量为202052331，所以乙队单独完成这项工作需要25天 ?，乙的工作效率为?15?55525方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的乙独做的时间为20?4，54?25（天）。 5

【例 11】 （难度等级 ※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙

单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？ 【解析】 法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的

有1?19，还?27?6020911111是甲做的，所以甲干了，休息了27?22?5（天）． ???22（天）

20202040119?)?27?，超过了单40608法二：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的(9111位“1”的?1?，则甲休息了?． ?5（天）

88840

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．甲、乙合作了几天

后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天．乙请假多少天？ 【解析】 法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的

1441?16?，还有1??是乙做的，所以乙干了20555

11??6(天)，休息了16?6?10(天)，请假天数为：16?6?10(天)． 530 法二：假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成全部工程的(的

4111?1?，则乙请假??10(天)． 33330114超过了单位“1”?)?16?，

20303

【巩固】 （难度等级 ※※※）有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现

在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 【解析】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为

111111??? 6天完成的工程量为?6?1 ，而实1012154421111际6天完成了的工程量为1，即甲队少做了，甲队完成超过单位“1”1?1?，甲没有干的

222211?5(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天． 天数：，?210

【例 12】 （难度等级 ※※※）(2007年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做

需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休

息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天．

1?1?1y?1，化简得44x?15y?720．由【解析】 设甲、乙工作了x天，丙工作了y天，则有：???x?48?3630?于15y和720都是15的倍数，所以x也是15的倍数，而x?720?44?17，所以x?15，y?4，所以丙休息了15?4?11天．

【例 13】 （难度等级 ※※※）一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由

甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的

1，乙就完成121111111?6。共完成??3??6?。1??2天说明工作量的?3，丙就完成工作量的

182412182422甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天. 解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

72?

1?3?6?20天。

6?1?4?3?3?6