高中数学复习课(二)推理与证明教学案新人教A版选修1-2

复习课(二) 直接证明与间接证明

合情推理

(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．

(2)处理与归纳推理相关的类型及策略

①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解． ②与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解．

③进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

[考点精要] 1．归纳推理的特点及一般步骤

2．类比推理的特点及一般步骤

[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积S11

为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，

S24

V1

外接球体积为V2，则＝( )

V2

1 B. 91 D. 27

1

A. 8

C.1 64

(2)(陕西高考)观察下列等式：

11 1－＝，

22

1 / 13

11111 1－＋－＝＋，

23434

11111111 1－＋－＋－＝＋＋，

23456456

……，

据此规律，第n个等式可为______________________________________________．

V11

[解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.

V227

1111111

(2)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边

2n－12n2342n－12n

1111 的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.

n＋1n＋1n＋2n＋n11111111

[答案] (1)D (2)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

2342n－12nn＋1n＋22n

[类题通法]

(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事

例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一

点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

[题组训练] 1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则

预计第10年树的分枝数为( )

B．34 D．55

A．21 C．52

解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的

和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.

ACAE

2．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结

BCBE论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得

到类比的结论是________________．

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解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得

AES△ACD ＝.

EBS△BCDAES△ACD

答案：＝

EBS△BCD

演绎推理

(1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查．

(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键．

[考点精要] 演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和 结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．[典例] 已知f(x)＝－

1?1?4＋，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn?an，－?在an＋1?x2?

曲线y＝f(x)上(n∈N)，且a1＝1，an>0.

(1)求数列{an}的通项公式；

1*

(2)求证：Sn>(4n＋1－1)，n∈N.

2

[解] (1)f(an)＝－

1

＝－an＋1

∴ ∴

1

4＋，且an>0，a2n1

＝an＋1

14＋，a2n

*

11*

－＝4(n∈N)．a2n＋1a2n

?1?1

∴数列??是等差数列，首项＝1，公差d＝4，

n?a21?a2

∴

11

＝1＋4(n－1)，∴a2n＝.a2n4n－3

14n－3

(n∈N)．

*

∵an>0，∴an＝

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(2)证明：∵an＝ ＝

2

14n－3

2

>

24n－34n－3＋4n＋1 ＝

4n＋1－4n－3

，

2

1

∴Sn＝a1＋a2＋…＋an>[(5－1)＋(9－5)＋…

2

＋(4n＋1－4n－3)]

1

＝(4n＋1－1)．

2

[类题通法]

应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正

确的结论．

常见的解题错误：

(1)条件理解错误(小前提错)； (2)定理引入和应用错误(大前提错)；

(3)推理过程错误等．

[题组训练] 1．已知a＝

5－1x，函数f(x)＝a，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关2

系是 .

解析：当0

a＝5－1?5－1?x∈(0,1)，∴函数f(x)＝??为减函数，故由f(m)>f(n)，得m

答案：m

2．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．

aex

exa

解析：∵f(x)＝＋是R上的偶函数，

aexe－xaexa

∴f(－x)＝f(x)，即＋＝＋，

ae－xaex

1－xx?1－1?＝0.

∴(e－e)＋a??a?e－xex?

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