2018年高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆双曲线抛物线的基本问题案文201712143117

x2y222

4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)＋y＝4所截

ab得的弦长为2，则C的离心率为( ) A.2 C.2

B.3 D.23

3

解析 设双曲线的一条渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为2－1＝

2

2

22ba|2b|

2

a2＋b2

，

2

2

2

又由c＝a＋b得c＝4a，e＝4，e＝2. 答案 A

x2y2

5.(2017·新乡模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个

ab顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( ) A.－＝1 65C.－＝1 84

→ → → x2y2x2y2

B.－＝1 812D.－＝1 46

x2y2

x2y2

解析 设A(x，y)，∵右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且BA＝2AF， 2cb∴x＝，y＝，

33

4c1222

代入双曲线方程，得2－＝1，且c＝a＋b，

9a9∴b＝

6a. 2

2

2

2

→ → ∵|BF|＝4，∴c＋b＝16，∴a＝2，b＝6， ∴双曲线C的方程为－＝1.

46答案 D 二、填空题

→ x2y2

y2

6.(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________.

m2

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1＋m2

解析 由题意知＝e＝3，则m＝2.

1答案 2

7.(2017·邯郸质检)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线

2

→→PF与C的一个交点.若FP＝4FQ，则|QF|等于________.

解析 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 答案 3

8.(2017·石家庄三模)已知抛物线y＝2px(p>0)上的一点M(1，t)(t>0)到焦点的距离为5，

2

→ → x2y2

双曲线2－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为

a9

________.

解析 由题设1＋＝5，∴p＝8.不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点

2

pA(－a，0)，且直线AM平行一条渐近线，∴

答案 3 三、解答题

43

＝，则a＝3. 1＋aax2y22

9.(2017·佛山调研)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0).

ab2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程.

??1＝2，?a＝2，

解 (1)依题意可得?a2解得?

?b＝1.??a2＝b2＋1，

∴椭圆E的标准方程为＋y＝1.

2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意； ②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1).

x2

2

x??＋y2＝1，

联立得方程组?2

??y＝k（x－1），

消去y得(1＋2k)x－4kx＋2(k－1)＝0，

- 14 -

2

2

2

2

2

4k2（k－1）

∴x1＋x2＝，x·x＝. 1222

1＋2k1＋2k－k∴y1·y2＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2. 1＋2k2

2

22

∵OM⊥ON，∴OM·ON＝0.

→→ k2－2

∴x1·x2＋y1·y2＝2＝0，∴k＝±2.

1＋2k故直线l的方程为y＝±2(x－1).

10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

4(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程. 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.

44于是直线AB的斜率k＝

x2

x21x22

y1－y2x1＋x2

＝＝1. x1－x24

(2)由y＝，得y′＝.

42

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).

2设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 将y＝x＋m代入y＝得x－4x－4m＝0.

4

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2m＋1. 从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）.

由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)， 解得m＝7.

所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.

11.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为3. 2

x2xx3

x2

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交

BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

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(1)解 设椭圆C的方程为x2y2

a2＋b2＝1(a>b>0).

?a＝2，由题意得?

??c3解得?a＝2

，c＝3.

所以b2

＝a2

－c2

＝1.

所以椭圆C的方程为x2

2

4

＋y＝1.

(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n). 由题设知m≠±2，且n≠0. 直线AM的斜率knAM＝

m＋2

，

故直线DE的斜率km＋2

DE＝－

n. 所以直线DE的方程为y＝－

m＋2

n(x－m). 直线BN的方程为y＝n2－m(x－2).

??y＝－m＋2（x－m），?n联立

??y＝n2－m（x－2），n（4－m2解得点E的纵坐标y）E＝－4－m2＋n2.

由点M在椭圆C上，得4－m2

＝4n2

， 所以y4

E＝－5

n.

又S12

△BDE＝2|BD|·|yE|＝5

|BD|·|n|，

S1△BDN＝2

|BD|·|n|.

所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

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