2018年高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆双曲线抛物线的基本问题案文201712143117

??由点?，0?在直线l：x－y－2＝0上， ?2?

得－0－2＝0，即p＝4. 2所以抛物线C的方程为y＝8x. (2)当p＝1时，曲线C：y＝2x.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0). 因为点P和Q关于直线l对称， 所以直线l垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为－1，设其方程为y＝－x＋b.

??y＝－x＋b，2由?2消去x得y＋2y－2b＝0. ??y＝2x，

22

pp因为P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(*) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1. 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1. 所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(*)式. 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1). 命题角度2 有关弦的中点、弦长问题

x2y2

【例3－2】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b≥1)过点P(2，1)，且

ab离心率e＝

3. 2

(1)求椭圆C的方程；

1

(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.

2

c2a2－b2322

解 (1)∵e＝2＝2＝，∴a＝4b.

aa4

2

4122

又2＋2＝1，∴a＝8，b＝2.

ab故所求椭圆C的方程为＋＝1.

82

1

(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

x2y2

- 9 -

??联立?消去y得x＋2mx＋2m－4＝0，

xy??8＋2＝1，

y＝x＋m，

2

2

2

2

1

2

判别式Δ＝16－4m＞0，即m＜4. 又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m－4， 则|AB|＝

12

1＋×（x1＋x2）－4x1x2 4

2

2

22

＝5（4－m）， 点P到直线l的距离d＝

|m|＝11＋4

2|m|

. 5

112|m|2

因此S△PAB＝d|AB|＝××5（4－m）

225＝m（4－m）≤

2

2

2

m2＋（4－m2）

2

＝2，

当且仅当m＝2时上式等号成立， 故△PAB面积的最大值为2.

探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝1＋k|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.

2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

【训练4】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，

2

2

l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

?1?解 由题意可知F?，0?，

?2?

设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，

?a??b??1??1?且A?，a?，B?，b?，P?－，a?，Q?－，b?， ?2??2??2??2??1a＋b?. R?－，??2

2?

(1)证明 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0， 记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，

- 10 -

22

a－bb所以k1＝，k＝＝－b，又因为ab＋1＝0， 221＋a11

－－22a－ba－b1－ab所以k1＝＝＝＝－b， 2＝2

1＋aa－abaa所以k1＝k2，即AR∥FQ.

(2)解 设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)， 1?11?所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|?x1－?，

2?22?|a－b|

又S△PQF＝，

2

所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF， 即

1?|a－b|1?＝2×·|a－b|·?x1－?， 2?22?

解得x1＝0(舍)或x1＝1.

设满足条件的AB的中点为E(x，y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得又

212

＝，所以y＝x－1(x≠1). a＋by2

2y＝(x≠1). a＋bx－1

当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y＝x－1.

1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax＋By＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.

3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.

4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导. 5.求中点弦的直线方程的常用方法

(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，2

2

cacay1－y2

三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜x1－x2

率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线

- 11 -

的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( ) 1A. 23C. 2

2

2

kxB.1 D.2

解析 因为抛物线方程是y＝4x，所以F(1，0).

又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.

x1答案 D

2.(2017·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1

22C.＋＝1 42

解析 由题设知b＝c＝2，a＝2， ∴椭圆的标准方程为＋＝1.

42答案 C

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂

3直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) 1A. 32C. 3

2

2

2

2

kkx2y2

B.＋y＝1 2D.＋＝1 42

x2

2

x2y2y2x2

x2y2

y2

1B. 23D. 2

解析 由c＝a＋b＝4得c＝2，所以F(2，0)， 将x＝2代入x－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.

313

又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 22答案 D

- 12 -

2

y2