2018年高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆双曲线抛物线的基本问题案文201712143117

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题

高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.

真 题 感 悟

x2y2

1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2

ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) A.6 32 3

2

2

2

B.

3 3

C.

1D. 3

解析 以线段A1A2为直径的圆是x＋y＝a，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d＝

2aba＋b22＝a，整理为a＝3b即＝22

ba13

.

ca2－b2

∴e＝＝＝

aa答案 A

?b?1－??＝

?a?

2

6?1?2

1－??＝.

3?3?

x2y2

2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为

ab5xyy＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )

2123A.－＝1 810C.－＝1 54解析 由题设知＝

2

2

x2y2

B.－＝1 45D.－＝1 43

x2y2x2y2

x2y2

ba5

，① 2

- 1 -

又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，

123易知a＋b＝c＝9，②

由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为－＝1.

45答案 B

3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

2

2

2

2

x2y2

x2y2

由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵点M为FN的中点，PM∥OF， 1

∴|MP|＝|FO|＝1.

2又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 答案 6

4.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的垂线，

2垂足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点

x2

2

→ → →→ F.

(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，

则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)， 由NP＝2NM得x0＝x，y0＝

→ → → → 2y， 2

- 2 -

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，

22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.

(2)证明 由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，

2

2

x2y2

→ → →→ →→OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， 由OP·PQ＝1，得－3m－m＋tn－n＝1， 又由(1)知m＋n＝2.故3＋3m－tn＝0. 所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

考 点 整 合

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).

温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

2

2

→→ 22

→→ →→ x2y2y2x2

(1)椭圆：2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；

ababx2y2y2x2

(2)双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；

abab(3)抛物线：y＝2px，y＝－2px，x＝2py，x＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

2

2

2

2

c①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝＝a2

2

2b21－2. ab21＋2. ac②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝＝a2

2

2

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

x2y2b①双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).

aba - 3 -

y2x2a②双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).

abb(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

??2

①抛物线y＝2px(p>0)的焦点F?，0?，准线方程x＝－. 2?2?

②抛物线x＝2py(p>0)的焦点F?0，?，准线方程y＝－. 2?2?4.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交的弦长

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，

2

ppp?

p?y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.

(2)过抛物线焦点的弦长

抛物线y＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p，弦

4长|AB|＝x1＋x2＋p.

热点一 圆锥曲线的定义及标准方程

2

p2

2

x2y2

【例1】 (1)(2017·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线

ab的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 412C.－y＝1 3

x2x2

y2

B.

－＝1 124

2

x2y2

2

D.x－＝1

3

2

y2

(2)(2017·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y＝2px(p>0)上，且AB∥CD，

CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点A到抛物线的焦点的距离是________.

解析 (1)依题意知c＝2，＝tan 60°＝3，又a＋b＝c＝4，解得a＝1，b＝3， 故双曲线方程为x－＝1.

3

(2)由题意设A(x1，1)，D(x1＋3，2)， 所以1＝2px1，4＝2p(x1＋3)?p＝

33，x1＝， 23

2

ba22222

y2

p3373

所以点A到抛物线的焦点的距离是x1＋＝＋＝.

23412

73

答案 (1)D (2)

12

- 4 -