2019年秋人教版九年级《二次函数》压轴大题专项训练试题(含答案)

2019年秋人教版九年级《二次函数》压轴大题专项训练试题（含答案）

15．如图，过点A（0，1）作直线PQ，交抛物线y＝x2于P，Q两点，点B是点A关于x轴的对称点．

（1）试判断以点P为圆心，PA为半径的圆与直线l：y＝﹣1的位置关系； （2）证明：直线BQ和直线BP关于y轴对称；

（3）过点P作y轴的平行线交直线l：y＝﹣1于H点，连接AH交x轴于E，直线PE与抛物线y＝x2是否还有除点P之外别的交点？请说明理由．

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参考答案

一．解答题

1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴解得：

， ，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H， ∵MN平分∠OMD， ∴∠OMN＝∠DMN， 又∵DM∥ON， ∴∠DMN＝∠MNO， ∴∠MNO＝∠OMN， ∴OM＝ON＝

．

在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1． ∴

∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．

①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x， 依题意得：x＝x2﹣2x﹣3． 解得：

，

， ，

∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q点纵坐标y＝∴

． ，

②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x， 同理可求：

，

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综上所述：点Q的坐标为：

，，

（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4）， ∴AC＝

， AD＝， CD＝

，

∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E， ∴E坐标为（1，﹣2）； ∴CE＝

，

设P点坐标为（x，y）， 则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2， 则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，

∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况， Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD． ∴

，

解得：，，

即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）． Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ACD． ∴

，

解得：，，

即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．

故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣11 / 36

4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，

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1），P4（4，﹣1）．

2．解：（1）联立x+y＝10和y＝2x+1并解得：x＝3，y＝7， 故“合适点”的坐标为（3，7）；

（2）联立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2并解得：x＝﹣2或6， 故点A、B的坐标分别为：（﹣2，12）、（6，4）， 则AB＝

（3）将点（4，6）代入二次函数表达式得： 16a+16+c＝6…①，

联立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：

＝8

；

ax2+5x+（c﹣10）＝0，

△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②， 联立①②并解得：a＝﹣，c＝0， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；

（4）图象G，如下图所示：

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