专题03 导数与应用-各类考试必备素材之高三数学(文)全国各地优质金卷

f?b??a?b?1??ab2?ab2?b?1?a?4?2?1??0，

所以f?x?有两个零点． （ii）若a?0，则f?x???x?1?e，故f?x?只有一个零点．

x??（iii）若a?0，由（I）知， 当a??1，则f?x?在?0,???单调递增，又当x?0时， f?x??0，故f?x?不存在两个零点； 21当a??，则函数在?ln??2a?,???单调递增；在?0,ln??2a??单调递减．又当x?1时， f?x??0，故

2不存在两个零点． 综上所述， a的取值范围是?0,???．

点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 18．【2018广东惠州高三4月模拟】已知函数f?x??4lnx?mx?1?m?R?.

2（1）讨论函数f?x?的单调性；

（2）若对任意x?1,e，都有f?x??0恒成立，求实数m的取值范围.

??【答案】(1)见解析;(2) m?2e. e即可求得g?x?max，从而可得实数m的取值范围；法二：要使f?x??0恒成立，只需f?x?max?0，对m进行m?0和m?0分类讨论，利用导数研究函数f?x?的单调性，求出f?x?max，即可实数m的取值范围.

44?2mx2(x?0) , 试题解析：（1）由题知： f??x???2mx?xx当m?0时, f??x??0在x??0,???时恒成立

∴f?x?在?0,???上是增函数.

?2??2??2m?x???x??2mm44?2mx????(x?0),

当m?0时, f??x???2mx??xxx令f??x??0，得0?x?22 ；令f??x??0,得 x?. mm??2?2?∴f?x?在?0,上为增函数，在?上为减函数. ????m,????m????（2）法一：由题知： 4lnx?mx2?1?0在x?1,e上恒成立， 即m?令g?x????4lnx?1在x??1,e?上恒成立. 2x2?1?4lnx?4lnx?1?gx?, ，所以 ,x?1,e????32xx1414令g??x??0得1?x?e；令g??x??0得e?x?e.

?1??1?44 ∴g?x?在?1,e?上单调递增，在?e,e?上单调递减.

????∴g?x?max?g?e????14??4lne?1?1?4e????214?2e , e∴m?2e. e法二：要使f?x??0恒成立，只需f?x?max?0, 当m?0时， f?x?在1,e上单调递增. ∴f?x?max?f?e??4?me?1?0,即m?2??5，这与m?0矛盾，此时不成立. 2e当m?0时, （i）若22?e即0?m?2时， f?x?在?1,e?上单调递增， me2∴f?x?max?f?e??4?me?1?0，即m?52，这与矛盾，此时不成立. 0?m?e2e2

（ii）若1???2?22?2?e即2?m?2时， f?x?在?1,上单调递增，在,e?上单调递减 . ??mm?e?m??∴f?x?max又∵

1?2?22e24?em?即，解得. ?f??4ln?1?0?m??mem??2?m?2 2e∴

2e?m?2 , e（iii）2?1 即m?2时， f?x?在?1,e? 递减，则f?x?max?f?1???m?1?0, m∴m?1 又∵m?2

∴m?2； 综上所述可得： m?2e . e点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若f?x??0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f?x?min?0，若

f?x??0恒成立，转化为f?x?max?0;

（3）若f?x??g?x?恒成立，可构造新函数h?x??f?x??g?x?，转化为h?x?min?0. 19．【2018北京师大附中高三二模】已知函数（1）求函数（2）已知

的单调区间； ，若函数

对任意

都成立，求

的最大值．

．（2）．

，其中

，为自然对数底数．

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为

【试题解析】 （1）因为

，因为

，由

得

，

所以当当

时，时，

，单调递减；

单调递增．

的单调递增区间为

对任意，所以

，

，

，

，单调递减区间为都成立，得

．

，

．

综上可得，函数（2）因为因为所以设所以

，由函数

由，令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以，即的最大值为，此时，．

【点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.

x2?2lnx?a?R,a?0?. 20．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数f?x??a（1）讨论函数f?x?的单调性；

（2） 若函数f?x?有最小值，记为g?a?，关于a的方程g?a??a?实数m的取值范围.

【答案】（1）当a?0时， f?x?在?0,???上递减，当a?0时， f?x?在0,a上递减，在

2?1?m有三个不同的实数根，求9a???a,???