CH2习题及答案

2.1 2.2

2.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：

?cos?tX(t)???2t出现正面出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：

（1）X(t)的一维分布函数FX(x,12)，FX(x,1)； （2）X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;12,1)； （3）画出上述分布函数的图形。

2.3 解： （1） X(0.5) 0 P 0.5 1 0.5 X(1) -1 2 P 0.5 0.5 ?0,x?0?一维分布为: FX(x,0.5)??0.5,0?x?1

?1,x?1??0,x??1?FX(x,1)??0.5,?1?x?2

?1,x?2?(2) X(1) X(0.5) 0 1 -1 0.5 0 2 0 0.5 x1?0或x2<-1?0?x1?1??x1?1???或??x?2?1?x?2?2??2?x1?1,x2?2?0,??二维分布函数为F(x1,x2;0.5,1)??0.5,??1,?

2.4 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,?.}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。试问，

1

（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？ （2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？

2.4解：

解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，

利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：

Bn?1??? P???n?1??101?1???P??B??P???B?n?0???P???????P??Bn? 1?? ?0.8?0.2?0.8?0.8?0.1024

（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有： 串（4bit数据）为：X(n)??2k?03kB(n?k)，其矩特性为：

因为随机变量B(n)的矩为： 均值：E[B(n)]?0?0.2?1?0.8?0.8

2 方差：Var?B(n)????B?n??????B?n???????2?02?0.2?12?0.8?0.82

?0.8?0.8?0.8??1?0.8??0.8?0.2?0.16

2所以随机变量X(n)的矩为：

均值：E[X(n)]??2k?033kE[B(n?k)]??2k?0.8?12

k?0k23

方差：D[X(n)]??(2k?0)D[B(n?k)]??4k?0.16?13.6

k?03如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均：???B?n?,B?n?1?,B?n?2?,B?n?3?????0.8,0.8,0.8,0.8?

串方差：

??Var???B?n?,B?n?1?,B?n?2?,B?n?3??????0.16,0.16,0.16,0.16?

（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) = 0] 可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得， 概率达到最大的串为?1,1,1,1?

（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列

2

没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.5 2.6

)2.7 设质点运动的位置如直线过程X(t)?Vt?X0，其中V?N(1,1与

X0?N(0,2)，并彼此独立。试问：

（1） t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？

（2） 它是可预测的随机信号吗？

2.7 解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

E[X(t)]?E[Vt?X0]?tE[V]?E[X0]?t

D[X(t)]?D[Vt?X0]?t2D[V]?D[X0]?t2?2 所以它的一维概率密度函数为:fX(x)?(2) 此信号是可预测随机信号

2.8 假定（-1,+1）的伯努利序列?In,n?1,2,...?的取值具有等概特性。试问： （1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？ （2） 它是可预测的随机信号吗？

(x?t)2exp{?2} 22(t?2)2?(t?2)12.8 解：

(1) fX(x)?0.5?(x?1)?0.5?(x?1)

E[In]?0.5(1?1)?0

??E[In1]E[In2]?0n1?n2C(n1,n2)?R(n1,n2)?E??In1In2????E[X2]?1,n?n

12n1??(2) 该随机信号不可预测

2.9

2.10 给定随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的自相关函数来表示差信号

Y(t)?X(t?a)?X(t)的自相关函数。

2.10 解： 由题意可得：

RY(s,t)?E[Y(s)Y(t)]?E{[X(s?a)?X(s)][X(t?a)?X(t)]}

?E[X(s?a)X(t?a)]?E[X(s?a)X(t)]?E[X(s)X(t?a)]?E[X(s)X(t)]?RX(s?a,t?a)?RX(s?a,t)?RX(s,t?a)?RX(s,t)

3

2.11 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数RXY(t1,t2)；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；

题2.11

解：（1）RXY?t1,t2?????X?t1?Y?t2???????Asin??t1????Bsin??t2?????

1???A????B????coss?1?t???1t?2t???co??2??2t???2??1???A???B??cos???t1?t2??????cos???t1?t2??2???????2??

因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以???cos??t1?t2??2????0， 上式RXY?t1,t2????1??A???B??cos???t1?t2???； ??2 （2）①如果E[A]或E[B]为0，则

RXY?t1,t2??0，随机信号X(t)与Y(t)正交 ； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有

?? ?X?t???????Asin??t??????0，???Y?t???????Bcos??t??????0， CXY?t1,t2??RXY?t1,t2?????X?t1??????Y?t2????RXY?t1,t2?，

如果E[A]或E[B]为0，则RXY?t1,t2??CXY?t1,t2??0，X(t)与Y(t)互不相

关；

如果E[A]与E[B]均不为0，则RXY?t1,t2??CXY?t1,t2??0，X(t)与Y(t)相关；

综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；

③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。 2.12

?2.13 假定正弦电压信号X(t)?Acos??t???，其中，A服从均匀分布U(?1,?1)，

4