2012高考真题分类汇编—数列

2012高考真题分类汇编：四、数列 一、选择题

1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25

【答案】B 【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.

2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是

A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0

C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，?．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。

3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ） 【答案】D

【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D. 4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）

A．25 B．50 C．75 D．100

【答案】D

【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。

5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B

【解析】在等差数列中，，答案为B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。 6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ） A、 B、 C、 D、

【答案】D 【解析】，即

，而是公差为的等差数列，代入，即 ，不是的倍数，.

，故选D.

7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比

数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： ①； ②； ③； ④.

则其中是“保等比数列函数”的的序号为

A． ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C

【解析】等比数列性质，，①； ②；③；④.选C

8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B.

【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.

9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 【答案】B 【解析】．

10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A) (B) (C) (D) 【答案】A

【解析】由,得，所以，所以，又，选A. 二、填空题

11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。 【答案】

【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子． 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．

12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：

①当时，数列的前3项依次为5,3,2； ②对数列都存在正整数，当时总有； ③当时，；

④对某个正整数，若，则。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） 【答案】①③④ 【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大. 【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误. 13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 【答案】1830 【解析】由得， ，

即，也有，两式相加得，设为整数， 则， 于是

14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。 【答案】 【解析】

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。 【答案】35

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。

【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以， 所以。

16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。 【答案】，

【解析】因为， 所以，。

17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____． 【答案】

【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。 18.【2012高考真题重庆理12】 . 【答案】 【解析】

19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。 【答案】。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列， ∴++?+==，∴。 20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________. 【答案】3018．

【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大．

【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以. 三、解答题

21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，， （1）设，，求证：数列是等差数列； （2）设，，且是等比数列，求和的值． 【答案】解：（1）∵，∴。 ∴ 。 ∴ 。

∴数列是以1 为公差的等差数列。 （2）∵，∴。 ∴。（﹡）

设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。

∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。 ∴。 ∴ 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分） 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为. （Ⅰ）求等差数列的通项公式； （Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和. 【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，， 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 ，或.

故，或. （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列； 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时，；当时，； 当时，

. 当时，满足此式.

综上， 23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列． （1） 求a1的值；

（2） 求数列{an}的通项公式． （3） 证明：对一切正整数n，有.

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.

24.【2012高考真题陕西理17】（本小题满分12分）

设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。