2019-2020创新设计一轮复习 第十章 第7节

P(AB)n(AB)

1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(A)＝n(A)，

n(AB)

其中，在实际应用中P(B|A)＝n(A)是一种重要的求条件概率的方法. 2.全概率公式的理论和实用意义在于：

在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.

3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.

(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次

kn－k独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ck.其中k＝0，npq

1，…，n，q＝1－p. [易错防范]

1.运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立.

2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

数据分析——三局两胜制的概率问题

1.数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.

2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题，对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种：一种是比赛完3局，胜两局的一方获胜；另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束，两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢？我们可通过教材的习题对此问题进行认识.

【例题】 (选修2－3P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

解 每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数X是随机变量，X服从二项分布.

(1)在采用3局2胜制中，X～B(3，0.6)，事件{X≥2}表示“甲获胜”.所以甲获胜

23的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C23×0.6×0.4＋0.6＝0.648.

(2)在采用5局3胜制中，X～B(5，0.6)，事件{X≥3}表示“甲获胜”.所以甲获胜的概率为

3244P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C35×0.6×0.4＋C5×0.6×0.4＋

0.65≈0.683.

可以看出采用5局3胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越大”，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少.在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利. [拓展延伸] 先后参赛对比赛公平性的影响

[拓展1] (两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取；每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.

解 甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球.

记Bi＝“第i次取到黑球”，Ri＝“第i次取到红球”.则 P(甲胜)＝P(R1)＋P(B1B2R3)＋P(B1B2B3B4R5) 35435432383＝10＋10·9·8＋10·9·8·7·6＝210， 432

同理可得P(乙胜)＝210，P(平局)＝5.

[拓展2] (三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.

解 记事件A，B，C分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件Ai，Bi，Ci分别为“第i局中甲、乙、丙获胜”.

则P(A)＝[P(A1A2)＋P(A1C2B3A4A5)＋P(A1C2B3A4C5B6A7A8)＋…]＋[P(B1C2A3A4)＋P(B1C2A3B4C5A6A7)＋…]

1?111??11?5

＝?22＋25＋28＋…?＋?24＋27＋210＋…?＝14. ????

5

因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P(B)＝P(A)＝14，P(C)＝1－P(A)－P(B)42＝14＝7.

552

即甲、乙、丙得冠军的概率分别为14、14、7.

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( ) 14A.25

12B.25

3C.4

3D.5 4

解析 因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝5，74714

P(乙)＝10，所以他们都中靶的概率是5×10＝25. 答案 A

2.(2019·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) 1A.8

3B.8

3

5C.8 7D.8 1?1?1

解析 三次均反面朝上的概率是?2?＝8，所以至少一次正面朝上的概率是1－8＝??

78. 答案 D

3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气P(AB)0.6质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝P(A)＝0.75＝0.8. 答案 A

4.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)( ) A.4.56% C.27.18%

B.13.59% D.31.74%

解析 依题设，X～N(0，32)，其中μ＝0，σ＝3. ∴P(－3

因此P(3

＝2(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9＝13.59%. 答案 B

5.(2019·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) 2A.5

3B.5

18C.125

54D.125 解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次