【2020精编】北师大初中数学中考总复习：图形的相似--知识讲解(基础)

【答案】设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°， (1)当∠1=∠2时，有： 即

(2)当∠1=∠3时，有： 即 ∴经过

秒或2秒，△PBQ∽△BCD.

；

， ，

4. （2016?闵行区一模）如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C． （1）求证：EB?BD=BM?AB； （2）求证：AE⊥BE．

【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到

，于是得到

结论；

（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论． 【答案与解析】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠EBM=∠C， ∴∠EBM=∠ABC， ∴∠ABE=∠DBM， ∵∠BAE=∠BDF， ∴△BEA∽△BDM， ∴

，

∴EB?BD=BM?AB；

5

（2）连接AD，

∵AB=AC，点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵

，∠ABD=∠EBM，

∴△ABD∽△EBM， ∴∠ADB=∠EMB=90°， ∴∠AEB=∠BMD=90°， ∴AE⊥BE．

【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．

5．（2015?丽水）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N． （1）当F为BE中点时，求证：AM=CE； （2）若（3）若

==

=2，求

的值；

=n，当n为何值时，MN∥BE？

【思路点拨】（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；

（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN=a，从而可得ND=AD﹣AN=a，就可求出

的值；

（3）如图3，设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值． 【答案与解析】解：（1）当F为BE中点时，如图1，

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则有BF=EF．

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，AB∥DC，

∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF． 在△BMF和△ECF中，

，

∴△BMF≌△ECF， ∴BM=EC．

∵E为CD的中点， ∴EC=DC， ∴BM=EC=DC=AB，

∴AM=BM=EC； （2）如图2， 设MB=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，∴△ECF∽△BMF， ∴

=

=2，

∴EC=2a，

∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a． ∵

=2，

∴BC=AD=2a． ∵MN⊥MC， ∴∠CMN=90°，

∴∠AMN+∠BMC=90°． ∵∠A=90°，

∴∠ANM+∠AMN=90°， ∴∠BMC=∠ANM， ∴△AMN∽△BCM， ∴=， ∴

=

，

∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，

∴==3；

（3）当==n时，如图3，

设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na． ∵MN∥BE，MN⊥MC，

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∴∠EFC=∠HMC=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°． ∵∠MBC=90°，

∴∠BMC+∠FCB=90°， ∴∠BMC=∠FBC．

∵∠MBC=∠BCE=90°， ∴△MBC∽△BCE， ∴∴

==

， ，

∴n=4．

【总结升华】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解决本题的关键．

类型三、位似图形

6 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________． y A1 10 9 8 7 6 A 5

4 B1 C1 3

2 C B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

【思路点拨】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心． 【答案与解析】连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．

【总结升华】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点． 举一反三：

【变式】下列图形中不是位似图形的是( ).

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