2.1.1 平面 学案(人教A版必修2)

∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C?平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 类型四 线共点问题

【例4】 如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.

求证：EF，GH，BD交于一点．

[思路探索] 由比例式可得出GE∥HF(四点共面)、GH与EF相交，再论证交点在BD上．

证明 因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE.

故E，F，H，G四点共面，

所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.

因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．

[规律方法] 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．

【活学活用4】 三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点．

已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行． 求证： l1、l2、l3相交于一点．

证明 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3. ∵l1?β，l2?β，且l1、l2不平行， ∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P， 则P∈l1?α，P∈l2?γ，

∴P∈α∩γ＝l3，∴l1、l2、l3相交于一点P. 方法技巧 分类讨论思想在立体几何中的应用 分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则，证明线共面时，要对所有情形逐一讨论，

最后归纳总结得出结论．

【示例】 两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？ [思路分析] 分四线共点，三线共点，无三线共点的三种情形讨论．

解 (1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面． (2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：

①当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但A?d，如图(1)所示：

∴直线d和A确定一个平面α.

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α. 同理可证b?α，c?α.

∴a，b，c，d在同一平面α内．

②当四条直线中任何三条都不共点时，如图(2)所示：

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α. 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α. 又H，K∈c，∴c?α. 同理可证d?α.

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面． 当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．

[题后反思] 分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到

引

起讨论的原因，确定分类的标准，多级分类讨论时，注意分类的层次.

课堂达标

1．下列命题中正确的个数是( )． ①一个平面长4米，宽2米；

②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25平方米；

④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面． A．0 B．1 C．2 D．3

解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．

答案 A 2．(2012·福州高一检测)下列说法正确的是( )． A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

解析 不共线三点确定一个平面，A错误；一条直线和此直线外一点确定一个平面，B错误；空间四边形(四个顶点不共面)不是平面图形，C错误；两条相交直线确定一个平面，D正确．

答案 D

3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是________．

解析 对于不共线四点：当三点共线时确定一个平面；当三点不共线时，可确定一个平面或四个平面

答案 1或4

4．下列语句是对平面的描述： ①平面是绝对平的且是无限延展的 ②一个平面将无限的空间分成两部分

③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集 ④平面可以用梯形、圆来表示 其中正确的序号是________．

解析 根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述，因此都是正确的．平面可以用封闭的平面图形来表示，④也正确．

答案 ①②③④

5．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系： (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC.

解 (1)点P∈直线AB；(2)点C?直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1?平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

课堂小结

1．理解平面的特征，能正确的画出图形，用符号语言准确表示点、线、面的位置关系． 2．充分认识三个公理及公理2三个推论的作用． 3．掌握证明点线共面、点共线、线共点的方法.