近世代数经典题与答案

1．设 为整数加群,

,求 [Z:H]??

解 在 Z中的陪集有:

,

,

2、找出S3的所有子群。

解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）} 若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。

用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。

7．试求高斯整环 解 设

(

的单位。

) 为

的单位, 则存在

, 使得

, 于是

,

,

, 所以, [Z:H]?5.

因为

, 所以

. 从而

显然它们都是

的单位. 所以

恰有四个单位:

,

, 或

. 因此可能的单位只有

5． 在 Z12中, 解下列线性方程组:

?x??35?解: ??y?????2?1??????12. 试求 解 设 为 对任意的

从而由理想的定义知,

?1?6?1??1?5??6??11???1????13???23????1?????9?? 即 ????????, .

的所有理想. 的任意理想, 则 为

, 为

的子环， 则

,

, 且 ,

的全部理想为

3.

且

.

, 有

的理想. 由此知,

2513、数域F上的多项式环F?x?的理想(x?1,x?x?1)是怎样的一个主理想。

5332253解 由于x?x?1?xx?1?1，所以1?x?1,x?x?1，于是得

???????x2?1,x5?x3?1???1??F[x]。

14、在 中, 求 的全部根. 解

为

的根.

共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知

共有下列4个元素, , ,

20.设R为偶数环.证明： N??4rr?R??R.问：N?4是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？

解： ?4n,4m?N,n,m?R： 4n?4m?4(n?m)?N,?n?m?R 故(4n?4m)?N,另外?n?R,?4r?N,r?R

(4r)n?4(rn)?N,?rn?R

n(4r)?(n4)r?(4n?)r?4(n?r)?N,?n??R?n?r?R,故n(4r),(4r)n?N.总之有N??4rr?R??R.另方面，由于

N??4rr?R????,?16,?8,0,8,16,??,

且4?N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即

N??4rr?R??8??8r?8nr?R,n?Z???8nn?Z?，但是

? 4??4r?4nr?R,n?Z???4nn?Z????,?8,?4,0,4,8,?因此，

N?4.实际上是

N?8?4.

22、设H?{(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集.

解 S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}, H的所有左陪集为:(1)H?(12)H?{(1),(12)}?H;

(13)H?(123)H?{(13),(123)};(23)H?(132)H?{(23),(132)}． H的所有右陪集为:H(1)?H(12)?{(1),(12)};

H（13）?H(132)?{(13),(132)};H(23)?H(123)?{(23),(123)}.

1．在群 中, 对任意 证明 令

,则

, 那么

, 方程

与 , 故 .

都有唯一解. 为方程

的解。 又如 为

的任一解, 即

这就证明了唯一性. 同理可证另一方程也有唯一解. 5． 设 集合. 则

是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是

的子群. 的行列式为 1, 所以 是

非空. 又对任一 阶方阵 , 如果

, 有

, 则 , 所以

,

是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的

证明 首先, 单位矩阵 所以 可逆, 故

的子集. 又对任意的 .

这说明 . 从而由定理知, 是 的子群.

7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令

则 是 到 的双射. 事实上

,

.

(1) 如果 (2) 任给 (3) 如果 陪集的个数相同.

, 那么 , 有

, 那么

, 故 , 所以, . 于是, 为 到 的映射.

, 因此, 为满射. , 因此

, 从而得 为双射.即在 中左陪集的个数与右

3．群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明 设 与 为 的两个正规子群, 都是 的正规子群, 所以

2

, 则 为 的子群. 又任给

所以,

. 故

, , 则因为 与 .

24、设群G的每个元素x都适合方程x= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。

证明：任意x、y∈G，由x= e，y= e有x= x，y= y。又由(xy)= e有(xy)= xy。从而yx= y x= (xy)= xy．即G是交换群．

39、证明：Z?2i?是主理想环。

2

2

-1

-1

2

-1

-1

-1

-1

??证明 令N是Z?2i?的任意一个理想，a是N中绝对值最小的一个非零元素，下证N??a?。

??任取??N，显然?/??Q[i]?a?bia,b?Q,

令?/??r?si(r,s?Q).选取分别最接近r,s的整数m,n，即0?r?m???1,210?s?n?. （1）

2令??m?niZ[i].并由（1）得

?/????(r?m)2?(s?n)2?111???1. （2） 442 现在令??????.显然0?N.于是由（2）得 ?????????/?????

但?是N中绝对值最小的非零元，故??0.从而?????(?).，因此N?(?)。 21. 令????6??123456??123456????， ， ?????54321??231564??1?，计算. ??,?????621354????123456? 21. 解：?????123456??123456??1，?????.

?546213??312645?),(132)}是3次对称群S3的子群，22. 设H?{(1),(123求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.

),(132)}， ?12?H?{(12),(13),(23)}； 解：H的所有左陪集为 H?{(1),(123H的所有右陪集为 H?{(1),(123),(132)}，H?12??{(12),(13),(23)}.

对???S3，有?H?H?，即H是正规子群.