数学思想方法专题一：函数与方程思想

数学思想方法专题

专题一 函数与方程思想

函数思想，就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立

函数关系或构造函数，再利用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决。函数思想的精髓就是构造函数，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，比如函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、最大值和最小值、图象变换等，这是应用函数思想的关键。

方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或

方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

函数与方程思想解题规律总结：

1、函数与方程思想的灵活运用，是建立在熟练掌握函数与方程的基础知识的前提下的，因此，要对常用基本初等函数的图象与性质及方程的基本问题等深入理解，并熟练掌握各知识点之间的内在联系。 2、函数与方程思想，主要有两个方面：一是应用函数与方程的性质思考问题；二是构造函数和方程，利用函数或方程解决问题。如含一个变量的等式就是方程；含两个变量的等式可理解为方程，也可转化为函数。

3、构造函数或方程，解决数学问题，是运用函数和方程思想的较高层次，在解题中，要注意归纳、总结，灵活运用函数的观点、方法分析解决各类数学问题。在平时要加强训练，并注意总结和积累经验，从而达到运用自如，得心应手的境界。

一、例题讲解

1、（2010安徽卷）设a???，b???3??5?25?2??2?c?，???，则a,b,c的大小关系是

?5??5?3525

2、（2010全国卷Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点

????????D，且BF?2FD，则椭圆C的离心率为

3、如果方程cosx?sinx?a?0在?0,

2????上有解，则a的取值范围是 ?2??????4、已知a、b为非零的不共线向量，设条件M:b?a?b；条件N:对一切x?R，不等式

??????a?xb?a?b恒成立，则M是N的（ ）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

a2?c2?（ ）5、已知a,b,c是递减的等差数列，且将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则 b2

A．4

B.8

C.16

D.20

x2y2P为双曲线左支上一点，P到6、已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，

ab

左准线的距离为d，并且PF1为PF2与d的等比中项，则双曲线离心率e的取值范围是

????????7、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA?PB的最小值

为（ ）

A、?4?2 B、?3?2

C、?4?22 D、?3?22

x2y28、已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两

ab点，若AF?4FB，则双曲线C的离心率为（ ）

A．

6 5B.

7 5C.

5 8D.

9 59、三棱锥S?ABC，SA?x，其余的所有棱长均为1，它的体积为V，问当x为何值时，V有最大值？并求此最大值。

10、已知抛物线C的方程为y2?2x，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l． （Ⅰ）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且FA?2FB，求k的值；

2（Ⅱ）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆?x?1??y?1内切于?PRN，求?PRN2面积的最小值。