第一章 概率论的基本概念

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；��

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；�� （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；�� （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.�� 37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，��

（1） 求甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；�� （2） 求甲、乙、丙三人坐在一起的概率；��

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.��

38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率.��

39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n)才能把门打开的概率与k无关.��

40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai)（i=0,1,2,3）.�� 41.对任意的随机事件A，B，C，试证��

P（AB）+P（AC）-P（BC）≤P(A).��

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.�� 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.�� 44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.��

45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.�� 46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).��

47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.��

48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.�� 49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？��

50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？�� 51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.��

52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. （1997研考）��

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：��

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. （1999研考）�� 54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）. （2000研考）�� 55.随机地向半圆0

2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率

与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ （1991研考）��

25

56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. （1993研考） ��57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.�� （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；��

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. （1998研考）�� 58. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)��

小 结��

在一个随机试验中总可以找出一组基本结果，由所有基本结果组成的集合Ω称为样本空间.样本空间Ω的子集称为随机事件.由于事件是一个集合，所以事件之间的关系和运算可以用集合间的关系和运算来处理.集合间的关系和运算读者是熟悉的，重要的是要知道它们在概率论中的含义.��

我们不仅要明确一个试验中可能会发生哪些事件，更重要的是知道某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.事件发生的频率的稳定性表明刻划事件发生可能性大小的数——概率是客观存在的.我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出了概率的公理化定义，并由此推出了概率的一些基本性质.��

古典概型是满足只有有限个基本事件且每个基本事件发生的可能性相等的概率模型.计算古典概型中事件Α的概率，关键是弄清试验的基本事件的具体含义.计算基本事件总数和事件Α中包含的基本事件数的方法灵活多样，没有固定模式，一般可利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识计算.将古典概型中只有有限个基本事件推广到有无穷个基本事件的情形，并保留等可能性的条件，就得到几何概型.��

条件概率定义为��

P（A|B）=

P(AB)，P（B）>0.�� P(B)可以证明，条件概率P（·|B）满足概率的公理化定义中的三个条件，因而条件概率是一种概率.对概率证明具有的性质，条件概率也同样具有.计算条件概率P（A|B）通常有两种方法：一是按定义，先算出P（B）和P（AB），再求出P（A|B）；二是在缩减样本空间ΩB中计算事件A的概率，即得到P（A|B）.��

由条件概率定义变形即得到乘法公式��

P（AB）=P（B）P（A|B），P（B）>0.��

在解题中要注意P（A|B）和P（AB）间的联系和区别.全概率公式��

P（B）=

?P(A)P(BA)

iii?1n是概率论中最重要的公式之一.由全概率公式和条件概率定义很容易得到贝叶斯公式��

26

P（Ai|B）=

P(BAi)P(Ai)?P(BA)P(A)jjj?1n, i=1,2,?,n.��

若把全概率公式中的B视作“果”，而把Ω的每一划分Ai视作“因”，则全概率公式反映“由因求果”的概率问题，P（Ai)是根据以往信息和经验得到的，所以被称为先验概率.而贝叶斯公式则是“执果溯因”的概率问题，即在“结果”B已发生的条件下，寻找B发生的“原因”，公式中P（Ai|B)是得到“结果”B后求出的，称为后验概率.��

独立性是概率论中一个非常重要的概念，概率论与数理统计中很多内容都是在独立性的前提下讨论的.就解题而言，独立性有助于简化概率计算.比如计算相互独立事件的积的概率，可简化为��

P（A1A2?An）=P（A1）P（A2）?P（An）；��

计算相互独立事件的并的概率，可简化为��

P（A1∪A2∪?∪An）=1-P（A1）P（A2）?P（An）.��

n重贝努里试验是一类很重要的概型.解题前，首先要确认试验是不是多重独立重复试验及每次试验结果是否只有两个（若有多个结果，可分成A及A，再确定重数n及一次试验中A发生的概率p，以求出事件A在n重贝努里试验中发生k次的概率.�� 重要术语及主题

下面列出了本章的重要术语及主题，请读者自查是否能在不看书的前提下写出它们的含义.��

随机试验 样本空间 随机事件�� 基本事件 频率 概率��

古典概型 A的对立事件A及其概率��

两个互不相容事件的和事件的概率 概率的加法定理�� 条件概率 概率的乘法公式 全概率公式�� 贝叶斯公式 事件的独立性 n重贝努里试验��

27