数学建模五步法案例

数学建模五步法小论文

问题再现：

一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。

⑴ 多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。

⑵ 对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。

⑶ 假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何。

⑷ 什么情况下折扣会导致利润的降低？

问题一：

一、 问题的提出

1. 具体问题

（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。

（2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。

（3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.

（4）什么情况下折扣会导致利润的降低。

2. 符号的说明

（1）每辆汽车的成本C； （2）折扣前的销量n； （3）折扣后的销量n'；

（4）折扣前每辆车的价格P； （5）折扣后每辆车的价格P'； （6）折扣前的销售额R； （7）折扣后的销售额R'； （8）折扣前的利润L； （9）折扣后的利润L'； 由题意：

折扣前的利润L?n(P?C)?1500,

设折扣为x时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性降低100x美元，销售额提高15%x可使利润最高。

二、 选择建模方法

则由题中已知条件可得方程组

?P'?P?100x?P?C?1500???n'?n(1?0.15x) ??L'?n'(P'?C)三、 推导模型公式

由各关系式可推出折扣后的利润函数为：

L'?n(1?0.15x)(P?100x?C)?n(1?0.15x)(1500?100x)

四、 求解模型

已知厂商折扣后的利润函数为：

L'?n(1?0.15x)(P?100x?C)?n(1?0.15x)(1500?100x)

为使厂商利润最大，令

dL'33?n(1500?100x)?100n(1?x)?0 dx2020解得：

x?25?4.2 6五、 回答问题

一般情况下，无论n值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。

问题二：灵敏性分析

题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程,以此来分析销售量提高率的敏感程度。

同理，还是对厂商利润函数L?求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：

表1不同提高率下的降价金额

销售量提高率

13% 14% 15% 16% 17%

降价金额（美元）

365.4 392.9 420 437.5 455.9

利用表2中数据在matlab中画图，输入命令： x=[0.13 0.14 0.15 0.16 0.17]; y=[365.4 392.9 420 437.5 455.9]; plot(x,y,'*') 得图2：

4604504404304204104003903803703600.130.1350.140.1450.150.1550.160.1650.170.175

图2

由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。

问题三：

若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x值是2.5，即厂商欲获利最大，需将价格下降250美元；

假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r，则r?(0.10,0.15)，通过对利润函数求导使之等于0得到：

15r?11x????0.75，r?(0.10,0.15)

2r2r当r?(0.10,0.15)时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3

输入命令：

x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15]; y=7.5-1./(2*x) plot(x,y,'*') 得图3：

4.243.83.63.43.232.82.60.10.110.120.130.140.150.16

图3

问题四：

厂商降价幅度超过最优解x后，接着降价则会导致厂商总利润降低。