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?a?

若a>0，则当x∈(－∞，0)∪?3，＋∞?时，f′(x)>0，

??a??

0，?当x∈时，f′(x)<0， 3???

a??a??

故f (x)在(－∞，0)，?3，＋∞?单调递增，在?0，3?单调递减；

????若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)单调递增；

a??－∞，?若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0， 3????a?

当x∈?3，0?时，f′(x)<0，

??

a???a?

故f (x)在?－∞，3?，(0，＋∞)单调递增，在?3，0?单调递减．

????

a???a?

(2)当0

????a3?a?f (x)在[0,1]的最小值为f?3?＝－27＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a.

??

?4－a，0

于是m＝－27＋2，M＝?

?2，2≤a<3.

a3

??2－a＋27，0

所以M－m＝?

a3

当0

所以M－m的取值范围是?27，2?.

??a3

当2≤a<3时，27单调递增， ?8?

所以M－m的取值范围是?27，1?.

???8?

综上，M－m的取值范围是?27，2?.

??

(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

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(2019·黄山二模)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O?x＝1＋cosα，为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为?(α是参数)，

?y＝sinα直线l的极坐标方程为3ρsinθ－ρcosθ＋1＝3m.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；

8

(2)设点P(1，m)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求m的值．

解 (1)由题可得，曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.

直线l的直角坐标方程为3y－x＋1＝3m，即x－3y－1＋3m＝0. 由于直线l过点P(1，m)，倾斜角为30°， 3

?x＝1＋?2t，

故直线l的参数方程为?

1

??y＝m＋2t

(t是参数)．

注意：直线l的参数方程的结果不是唯一的．

(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C1????3

的普通方程并化简得：?1＋t－1?2＋?m＋2t?2＝1?t2＋mt＋m2－1＝0

?2???

所以|PA||PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8 解得m＝±3.

23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·长春二模)已知f (x)＝|2－x|－|4－x|.

(1)关于x的不等式f (x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f (m)＋f (n)＝4，且m＜n，求m＋n的取值范围．

解

?x－2＋4－x＝2?x≥4?，

(1)f (x)＝?x－2－4＋x＝2x－6?2＜x＜4?，

?2－x－4＋x＝－2?x≤2?，

所以f (x)min＝－2，

∵f (x)≥a2－3a恒成立，则a2－3a≤f (x)min＝－2， 解得1≤a≤2.

(2)∵f (x)max＝2，∴f (m)≤2，f (n)≤2，则f (m)＋f (n)≤4，

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又f (m)＋f (n)＝4，所以f (m)＝f (n)＝2，于是n＞m≥4，故m＋n＞8.

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