《二次根式》知识点+典型练习题

二次根式 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意

义．

二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零

【例1】下列各式1）15,2)?5,3)?x2?2,4)4,5)(?13)2,6)1?a,7)a2?2a?1， 其中是二次根式的是_________（填序号）．

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、a B、?10 C、a?1 D、a2?1

2、在a、a2b、x?1、1?x2、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子1x?3有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]1、使代数式x?3x?4有意义的x的取值范围是（ ） A、x>3

B、x≥3

C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

3、如果代数式?m?1mn有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=

x?5+5?x+2009，则x+y=

1、若x?1?1?x?(x?y)2，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3 2、若x、y都是实数，且y=2x?3?3?2x?4，求

xy的值

3、当a取什么值时，代数式2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。

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二次根式的性质

1. 非负性：a(a?0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?aa(?0)． 3. a2?|a|??2a(a?0)?

?a(a?0)?a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例4】若则 ．

1、若m?3?(n?1)2?0，则m?n的值为 。

2、已知x,y为实数，且x?1?3?y?2??0，则x?y的值为（ ）

2 A．3 B．– 3 C．1 D．– 1

23、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋y?5y?6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿

4、若

a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b?2005?_____________。

2【例5】 化简：a?1?(a?3)的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是

A、x?2

B、x?2

C、?x?2

D、2?x

21、根式(?3)的值是( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－2a D．2a

3、若2a3，则?2?a?2??a?3?2等于（ ）

A. 5?2a B. 1?2a C. 2a?5 D. 2a?1

2 【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+(a?b) 的结果

等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

2bao实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a?1?(a?2)?______．

a

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?1 01 2

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；?分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【例11】在根式1) a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

1、45a,30,2,40b2,54,17(a2?b2)中的最简二次根式是 。 2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A．7

B．3

C．

1212 D．2 4、把下列各式化为最简二次根式：

245ab (3)12 (1) (2)

x2yx

【例12】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8 B. 27 C.25 D.

1 2

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、3和18 B、3和1 C、a2b和ab2 D、a?1和a?1 3【例13】 把下列各式分母有理化

81a2?43（1） （2） （3）x3 （4）?2xb4837

b5 a5【例15】把下列各式分母有理化：

（1）

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25?333 （2） （3） 2?15?332?23

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a〃b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a〃b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb

【例16】化简

22(1)9?16 (2)16?81 (3) 5?215 (4)9xy(x?0,y?0) (5) 1×6?23 2

【例17】计算（1）

（2） （3） （4）

（5）

（6） （7） （8）

【例19】计算：(1)

31111264?? (2) (3) （4）284168 3

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【例20】计算（1）?32?

11； 75?20.5?3227

【例21】 （1）81a3?5aa?3b14a5 （2） 2a3ab2?27a3?3abaa 1、2bab5?(?32a3b)?3ba

3、

1x2y〃（-4y2123x）÷6xy 4

232、 21

2 (212 +48

－348 ) 、(72?22?3)?3?76

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