2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文

－3＝0.

→→

(2)∵OM·CM＝0，∴OM⊥CM，

∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx， 由

|2k|1＋k＝3，得k＝±3，即＝±3. 2

yx【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．

【变式探究】已知圆C：(x－2)＋y＝4，圆M：(x－2－5cosθ)＋(y－5sinθ)＝1(θ∈R)，→→

过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值是( ) A．5 C．10 答案 B

B．6 D．12

2

2

2

2

1→→→→

HE·HF＝|HE|·|HF|cos∠EHF＝23×23×＝6，故选B.

2

高频考点六 向量的综合应用

y≥x，??

例6、(1)已知x，y满足?x＋y≤2，

??x≥a，

→→→→

若OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，且OA·OB的最大值是最

小值的8倍，则实数a的值是( ) A．1

1B. 3

1C. 41D. 8

(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为→→

坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

答案 (1)D (2)3

1→→?1??1? (2)由图象可知，M?，1?，N(xN，－1)，所以OM·ON＝?，1?·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得2?2??2?

xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×?2－?＝3.

2

??

1??

【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

→→→→

【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，→→→

则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是( ) A．22 C．42 答案 D

→→→→

解析 由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2， π→→

知〈OA，OB〉＝.

3

当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，

→→→

在△OAB中，取OC＝λOA，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显然OD＝

B．23 D．43

CDACCD2－2λ→→→→

λOA＋CD.由于＝，＝，∴CD＝(1－λ)OB，

OBAOOB2

→→→→→→

∴OD＝λOA＋(1－λ)OB＝λOA＋μOB＝OP， ∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，

∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．

考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，

1π

其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝43.

23

1.【2016高考江苏卷】如图，在?ABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分

uuuruuuruuuruuuruuuruuur点，BC?CA?4，BF?CF??1 ，则BE?CE 的值是 ▲ .

【答案】

7 8

uuuruuur【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，?ABC?60 ,则BD?CD?（ ）

o

（A）?32333a （B）?a2 （C） a2 （D） a2 2442【答案】D 【解析】因为

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur3BD?CD?BD?BA?BA?BC?BABA?BC?BA?a2?a2cos60o?a2

2????故选D.

rr【2015高考陕西，理7】对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ） rrrrrrrrA．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b|| rr2rr2rrrrr2r2C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b

【答案】B

rrrrrrrrrr【解析】因为a?b?abcosa,b?ab，所以选项A正确；当a与b方向相反时，

rrrra?b?a?b不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正

rrrrr2r2确；a?ba?b?a?b，所以选项D正确．故选B．

uuuruuur【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M，N满足

????uuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuurBM?3MC，DN?2NC，则AM?NM?（ ）

（A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C

uuurrrr【2015高考安徽，理8】???C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足???2a，uuurrr?C?2a?b，则下列结论正确的是（ ）

uuurrrrrrrr（A）b?1 （B）a?b （C）a?b?1 （D）4a?b??C

??【答案】D 【解析】如图，