2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文

【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝

a·b(夹角公|a||b|

式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

3?→?31?→?1

【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22??22?A.30° C.60°

B.45° D.120°

2

2

2

(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________. →→

解析 (1)|BA|＝1，|BC|＝1， →

3

cos∠ABC＝＝.

→→2|BA|·|BC|

supBA6(→)·BC→→

由〈BA，BC〉∈[0°，180°]，得∠ABC＝30°. (2)由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a⊥b， 所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 答案 (1)A (2)－2

【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；

(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

1

【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1

3－e2的夹角为β，则cosβ＝________.

→→→

(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( ) A.2 C.6

22

答案 (1) (2)C

3

B．2 D．6

2

2

2

→→

(2)∵AB·AC＝－1，

→→

∴|AB|·|AC|·cos120°＝－1， →→

即|AB|·|AC|＝2，

→2→→2→2→→→2∴|BC|＝|AC－AB|＝AC－2AB·AC＋AB →→→→

≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6， →

∴|BC|min＝6.

高频考点三 平面向量与三角函数

例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?(1)若m⊥n，求tanx的值；

π

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

3解 (1)因为m＝?

2??2

，－?，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.

2??2

22

sinx－cosx＝0， 22

2??2?π?，－?，n＝(sinx，cosx)，x∈?0，2?.

??2??2

所以m·n＝0，即所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.

π1

(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

32即

221?π?1sinx－cosx＝，所以sin?x－?＝，

4?2222?

ππππ

因为0

2444ππ5π

所以x－＝，即x＝.

4612

【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

→→

【变式探究】已知O为坐标原点，向量OA＝(3sinα，cosα)，OB＝(2sinα，5sinα－4cosα)，

α∈?

→→?3π，2π?，且OA⊥OB，则tanα的值为( ) ?

?2?

4

B．－

53D. 4

4A．－

34C. 5答案 A

高频考点四 向量在平面几何中的应用

→→

例4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA→→

＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．内心 C．重心 答案 C

→→→→→→→→

解析 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋→

B．外心 D．垂心

AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重

心．

【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．

→→

【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB＝________.

→

→→→→→

(2)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．正方形 1

答案 (1) (2)D

2

→→→→→1→

解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，

2

B．梯形 D．菱形

→→→→→→→→→→(2)AB＋CD＝0?AB＝－CD＝DC?平面四边形ABCD是平行四边形，(AB－AD)·AC＝DB·AC＝→→

0?DB⊥AC，所以平行四边形ABCD是菱形． 高频考点五、 向量在解析几何中的应用

→→→

例5、(1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

→→22

(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)＋y＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，则＝______.

答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±3 →→→

解析 (1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， →→→→→BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11.

由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋yyx