湘教版七年级上册数学一元一次方程的应用例题与解析

湘教版七年级上册数学3.2 一元一次方程的应用

1．列一元一次方程解应用题

列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用题的步骤是：

(1)审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题中的未知数； (2)找等量关系：分析题意，找出相等关系(可借助于示意图、表格等)； (3)列方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4)解方程：解这个方程，求出未知数的值；

(5)检验作答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称)． 解技巧 利用一元一次方程巧解应用题

读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提．根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键．对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系．

设未知数一般是问什么就直接设什么．如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统一．

【例1】 甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？

分析：抽调后甲队人数＝甲队原有人数＋调入人数，抽调后乙队人数＝乙队原有人数－调出人数．在本题中抓住“2倍”便可发现相等关系：抽调后甲队人数＝抽调后乙队人数×2.

解：设需从乙队抽调x人到甲队．根据题意列方程，得32＋x＝2(28－x)． 解这个方程，得x＝8.

答：需从乙队抽调8人到甲队．

2．形积问题 (1)常用的体积公式

长方体的体积＝长×宽×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； 圆柱体的体积＝底面积×高＝πrh；

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圆锥体的体积＝×底面积×高＝πrh.

33(2)常用的面积、周长公式 长方形的面积＝长×宽； 长方形的周长＝2×(长＋宽)； 正方形的面积＝边长×边长； 正方形的周长＝边长×4； 1

三角形的面积＝×底×高；

2平行四边形的面积＝底×高； 1

梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；

2圆的面积＝πr，圆的周长＝2πr. (3)形积变化中的等量关系

形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况：

①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积． ②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．

③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系． (4)应用题中相等关系的找法

①认真分析题意，找出已知数和未知数；②抓住题目中反映相等关系的关键词．如：相等、等于、多、少……；③掌握基本问题的常用关系式．如路程＝速度×时间，总价＝单价×数量……；④通过画图、列表等方法找相等关系．

【例2－1】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示．小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示．小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？

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分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽．根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52.则2x＋20＝52，从而解得x＝16.

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解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意，得 2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10， 整理得2x＋20＝52，解得x＝16.

由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米． 答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米．

【例2－2】 用一个底面半径是40毫米，高为120毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，则大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，则大玻璃杯的高度是多少？

分析：根据“小圆柱体的体积×10＝大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解． 解：设大玻璃杯的高度是x毫米，根据题意，得 π·100(x－10)＝π·40×120×10. 解这个方程，得x＝202. 答：大玻璃杯的高为202毫米．

【例2－3】 内直径为20 cm的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．(π取3.14)

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分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同．所以本题的相等关系是：圆柱的体积＝长方体的体积．

解：设圆柱形水桶高x cm.根据题意，得 480?20?2

π??·x＝30×20×80.解得x＝≈152.87.

π?2?

答：圆柱形水桶高约为152.87 cm. 3.行程问题 (1)相遇问题

相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行． 相遇问题中的相等关系：

①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；

②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s甲＋s乙＝s总．

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(2)追及问题

追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类： ①同时不同地，如下图：

等量关系：乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及时间＝追及距离，即s乙－s甲

＝s差．

②同地不同时，如下图：

等量关系：甲的行程＝乙的行程，即s甲＝s乙． 解技巧 巧解追及问题

追及问题常从以下几个方面寻找等量关系列方程：①从时间考虑，若同时出发，追上时两人所用时间相等；②从路程考虑，直线运动，两人所走距离之差等于需要赶上的距离；③从速度考虑，两人的相对速度等于他们的速度的差．

(3)环形跑道问题

一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于n圈长；同向而行，路程差等于n圈长．

(4)航行问题

航行问题主要包括轮船航行和飞机航行，对于航行问题，需注意以下几点：

a．顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度； b．逆水(风)速度＝静水(风)速度－水流(风)速度； c．顺水(风)速度－逆水(风)速度＝2倍水(风)速度；

d．基本关系式：往路程＝返路程．

【例3－1】 A，B两地相距112千米，甲、乙两人驾车同时从A，B两地相向而行，甲比乙每小时多行4千米，经过两小时后两人相遇，求甲、乙两人每小时各行多少千米？

分析：本题属于相遇问题，其中的等量关系有：甲速度＝乙速度＋4，甲行程＋乙行程＝A，B两地距离(112千米)．

解：设乙每小时行x千米，则甲每小时行(x＋4)千米．根据题意，得2(x＋4)＋2x＝112. 解这个方程，得x＝26. 当x＝26时，x＋4＝30.

答：甲每小时行30千米，乙每小时行26千米．

【例3－2】 李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同

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