高考 函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 详解

ππ??3

∴f(x1＋x2)＝sin?2×6＋3?＝2。故选D。

??答案 D

ππ

7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－2≤φ<2图像上每一点的横坐π

标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到y

?π?

＝sin x的图像，则f?6?＝________。

??

π

解析 把函数y＝sin x的图像向左平移6个单位长度得到y＝π?π???

sin?x＋6?的图像，再把函数y＝sin?x＋6?图像上每一点的横坐标伸长????π??1

为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin?2x＋6?的图像。所以

??

?π??1ππ?π2

f?6?＝sin?2×6＋6?＝sin 4＝2。 ????

2

答案 2

π??

8．已知函数f(x)＝3sin?ωx－6?(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图像

??π??

?完全相同，若x∈0，2?，则f(x)的值域是________。 ??

π?π?2π???π?

?????解析 f(x)＝3sinωx－6＝3cos2－ωx－6＝3cosωx－3?，易知??????π???ω＝2，则f(x)＝3sin2x－6?， ??

π??ππ5π

??0，∵x∈2?，∴－6≤2x－6≤6， ?1π

∴－2≤sin2x－6≤1，

3

∴－2≤f(x)≤3。

?3??答案 －2，3? ??

9．(2015·广东梅州二模)把函数y＝sin 2x的图像沿x轴向左平移π

6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图像，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：

π???π????①该函数的解析式为y＝2sin2x＋6；②该函数图像关于点3，0?????π?π???

???对称；③该函数在0，6上是增函数；④函数y＝f(x)＋a在0，2?上的????最小值为3，则a＝23。

其中，正确判断的序号是________。

π

解析 将函数y＝sin 2x的图像向左平移6个单位得到y＝sin π?π???

2?x＋6?＝sin?2x＋3?的图像，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝????π???π?ππ2sin?2x＋3?的图像，所以①不正确；y＝f?3?＝2sin2×3＋3＝2sin π＝0，

????

?π?πππ所以函数图像关于点?3，0?对称，所以②正确；由－2＋2kπ≤2x＋3≤2

??

5ππ

＋2kπ，k∈Z，得－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间π?5π??5ππ?

为?－12＋kπ，12＋kπ?，k∈Z，当k＝0时，增区间为?－12，12?，所????π??πππ

??以③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin2x＋3＋a，当0≤x≤2时，3≤2x＋3??4ππ4ππ4π

≤3，所以当2x＋3＝3，即x＝2时，函数取得最小值，ymin＝2sin 3＋a＝－3＋a＝3，所以a＝23，所以④正确。所以正确的判断为

②④。

答案 ②④

π??

10．已知函数f(x)＝2sin?2x－4?＋1。

?

?

(1)求它的振幅、最小正周期、初相；

?ππ?

(2)画出函数y＝f(x)在?－2，2?上的图像。

?

?

π??2π??解 (1)f(x)＝2sin2x－4＋1的振幅为2，最小正周期T＝2＝??π

π，初相为－4。

(2)列表并描点画出图像：

x π－2 3π－8 －π 1 π－8 π－2 1－2 π8 0 1 3π8 π2 1＋2 π2 34π 2 π52x－4 －4π y 2 ?ππ?故函数y＝f(x)在区间?－2，2?上的图像是

??

11．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，

?π且y＝f(x)的图像过点?12，

?

??2π?3?和点?3，－2?。 ?

?

?

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间。

解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x。

?π因为y＝f(x)的图像过点?12，

?

??2π?3?和点?3，－2?， ?

?

?

ππ??3＝msin 6＋ncos 6，

所以?4π4π

??－2＝msin 3＋ncos 3，

?即?31?－2＝－2m－2n，

解得m＝3，n＝1。

133＝2m＋2n，

(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x π??

＝2sin?2x＋6?。

??