高中数学 第2章 推理与证明章末小结与测评学案 苏教版选修1-2

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第2章 推理与证明

一、合情推理和演绎推理

1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．

2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．

二、直接证明和间接证明

1．直接证明包括综合法和分析法：

(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．

(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出

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发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．

2．间接证明主要是反证法：

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．

反证法主要适用于以下两种情形：

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．

解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．

答案：A

2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．

解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大

3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)

①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有

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关

解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．

答案：①③④

4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：

多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________________．

解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.

答案：F＋V－E＝2

5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

1S1h1

V13?S1?h1111解析：＝＝??·＝×＝. V21?S2?h2428

S2h23答案：1∶8

1

6．设函数f(x)＝x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝

2＋2

f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝

， x2＋2

1

2

x1

f(1－x)＝

＝x＝x. ＋22＋2·22＋2

1x1＋·2

22

∴f(x)＋f(1－x)＝＝， x22＋2

2

1－x1

·22

x发现f(x)＋f(1－x)正好是一个定值， ∴2S＝

2

×12.∴S＝32. 2

答案：32

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7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．

解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．

答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心

8．已知x，y∈R，当x＋y＝________时，有x1－y＋y1－x＝1. 解析：要使x1－y＋y1－x＝1， 只需x(1－y)＝1＋y(1－x)－2y1－x， 即2y1－x＝1－x＋y. 只需使(1－x－y)＝0， 即1－x＝y，∴x＋y＝1. 答案：1

9．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝

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＋

2

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2

2

S1＋S2＋…＋Sn，称Tn为数列a1，a2，…，an的

n“理想数”．已知数列a1，a2，…，a500的“理想数”为2 004，那么数列3，a1，a2，…，a500的“理想数”为________．

解析：由题意知T500＝2 004＝

S1＋S2＋…＋S500

500

，

3＋（S1＋3）＋（S2＋3）＋…＋（S500＋3）

则T501＝

501＝

500×2 004＋3×501

＝2 003.

501

答案：2 003 10.

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x＋y＝r(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一1xy22

点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则是m，n的等差中项；现有一椭圆2＋2

4ab＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈

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