2019届东北三省三校高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)

令，得，

∴点的坐标为，

∴直线的斜率为．

由得，

∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，

∴直线与抛物线相切．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，

由 消去整理得，

设，

则．

由题意得直线的斜率为 ，

直线∵

的斜率为

，

，

∴，

∴，

∴ ，

整理得解得

或

．

，

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∵∴又∴存在

， ， ，且

， ，使得

．

【点睛】

解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解． 21．已知函数（I）若

，（

为自然对数的底数）

在上单调递减，求的最大值；

（Ⅱ）当时，证明：.

【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得

对

恒成立，即

对

恒

成立，设，则对于恒成立，由

，得

可得当

时，

，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）单调递减，且

， 故当

时，

，整理得

两不等式相加可得所证不等式． 【详解】 （Ⅰ）由∵∴

在上单调递减，

．然后再证明成立，最后将

，得．

对恒成立，

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即对恒成立，

设，则对于恒成立.

则∴

，

，

当时，，且单调递增， ，

∴当增． ∴

，，单调递减；当，，单调递

，即恒成立，

∴的最大值为2． （Ⅱ）当当∴

时，时，

，即，

单调递减，且

，

，

∴， ①

下面证明， ②

令，则，

∴∴

在区间上单调递增，

，故②成立．

由①+②得【点睛】

成立．

本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来

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求解．

本题综合性较强、难度较大． 22．已知曲线的参数方程为

（为参数），

，为曲线上的一动点.

（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；

（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？

若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.

【解析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析

，由题意得后可得点的坐标．

图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设

，然后根据点在曲线上求出

【详解】 （Ⅰ）设

时对应的点为

时对应的点为，由题意得轴，

则线段扫过的面积.

（Ⅱ）设∵为线段∴

，

的中点，

，

，

，

∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为∴整理得

，

，

∴，

∴，

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