(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书 文 苏教版

题型二 由an与Sn的关系求通项公式

21

例2 (1)(2016·南通模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an33＝ . 答案 (－2)

n－1

2121

解析 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n333321n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)

33

－1

.

(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式. ①Sn＝2n－3n；②Sn＝3＋b. 解 ①a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n－3n)－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋b)－(3＝2·3

n－1

nn－1

2

2

2

n＋b)

.

当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式. ∴当b＝－1时，an＝2·3

n－1

；

?3＋b，n＝1，?

当b≠－1时，an＝?n－1

??2·3，n≥2.

思维升华 已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1； (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；

(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－3，则数列{an}的通项公式为 .

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－9n，则其通项an＝ ；若它的第k项满足5

2

n则k＝ .

??－1，n＝1，

答案 (1)an＝?n－1

?2，n≥2?

(2)2n－10 8

解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2

??－1，n＝1，

∴an＝?n－1

?2，n≥2.?

n－1

，

(2)∵an＝?

?S1，n＝1，?

??Sn－Sn－1，n≥2，

?－8，n＝1，?

∴an＝?

??2n－10，n≥2.

*

又∵－8也适合an＝2n－10，∴an＝2n－10，n∈N. 由5<2k－10<8，∴7.5

(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；

n(2)a1＝1，an＋1＝2an； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 1

解 (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋)，

nn∴an－an－1＝ln(1＋

1n)＝ln (n≥2)， n－1n－1

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝lnn－13

＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 n－1n－22

n－13

··…··2) n－1n－22nn＝2＋ln(

＝2＋ln n(n≥2).

又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N). (2)∵an＋1＝2an，∴∴an＝＝2

n－1

n*

ann－1

＝2 (n≥2)， an－1

anan－1a2

··…··a1 an－1an－2a1

n－2

·2·…·2·1＝2

1＋2＋3＋…＋(n－1)

＝2n(n?1)2.

又a1＝1适合上式，故an＝2n(n?1)2.

(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3

n－1

，故an＝2·3

n－1

－1.

思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列. (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列. (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解. (4)当出现

an＝f(n)时，用累乘法求解. an－1

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝

n－1*

·an－1(n≥2且n∈N)，则an＝ . n*

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N)，则a5＝ . 1

答案 (1) (2)16

n解析 (1)∵an＝∴an－1＝

n－1

an－1 (n≥2)， nn－21

an－2，…，a2＝a1. n－12

以上(n－1)个式子相乘得 12n－1a11

an＝a1···…·＝＝. 23nnn1

当n＝1时也满足此等式，∴an＝.

n(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，

∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1. ∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2， 故a5＝a1×q＝2＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知an＝答案 递增

4

4

n－1

，那么数列{an}是 数列.(填“递减”“递增”或“常”) n＋1

解析 an＝1－

2*

，将an看作关于n的函数，n∈N，易知{an}是递增数列. n＋1

命题点2 数列的周期性 例5 数列{an}满足an＋1＝1答案 2

1

解析 ∵an＋1＝，

1－an111－an－1

∴an＋1＝＝＝ 1－an11－an－1－1

1－

1－an－1＝

1－an－11

＝1－ －an－1an－1

1

＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3， 11－an－2

1

，a8＝2，则a1＝ . 1－an＝1－∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝

11，∴a1＝. 1－a12

命题点3 数列的最值 例6 若数列{an}的通项an＝答案

1 19

nn2＋90

，则数列{an}中的最大项的值是 .

90

解析 令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥290，当且仅当x＝310时等号成

x立.因为an＝

111*

，所以≤，由于n∈N，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最909029019n＋n＋

1

nn大.

思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据an＋1

(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断. an③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.