防灾科技学院08-15年高数学位考试汇总

| | | | | | ：| 名姓|

装

| | | | ：号|

学订

|

| | | ：| 级班|

线

|

| | ：| 号序| 卷试| | | |

防灾科技学院

2008年《高等数学》学位考试试卷 （答题时间150分钟）

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷教师 得分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的横线上。本大题共15分，共计5小题，每小题3分）

1. 若x?x0时，?(x),?(x)都是无穷小量，则当x?x0时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小量 D ；

A.?(x)??(x) B.?2(x)??2(x) C.　ln?1??(x)??(x)? D.

?2(x)?(x) 2. 曲面xy?yz?zx?11在点(1,2,3)处的切平面方程为 B

A.

x?15?y?24?z?33 B.5(x?1)?4(y?2)?3(z?3)?0 C.x?15?y?24?z?33?0 D.5(x?3)?4(y?2)?3(z?1)?4?0 3. 若区域D为x2

+y2

≤2x，则二重积分

化成累次积分为 D

? A.

?22cos???d??0(cos??sin?)2rcos?rdr

2 B.

??(cos??sin?)d??2cos?300rdr

? C.2?20(cos??sin?)d??2cos?0r3dr

? D.

?2(cos)d????sin???2cos?0r3dr

24. 设??x?arctant确定了y?y(x),则d2y?y?ln(1?t2)dx2? C A.2 B.221?t2 C.2(1?t) D.?12t2 1

5. 设

(ax?by)dx?(bx?ay)dy?(x2?y2)m?x2?y2?0?ab?0?是某二元函数的全微分，则m= A ?? A.0 B.1 C.2 D.3

阅卷教师

得分 二、填空题（将正确答案填在横线上。本大题共15分，共计5小题，每小题3分） 6. 3xlime?1?x= 1

x?02x7. 设u?x4?y4?4x2y2，则?2u22?x2=12x?8y ?8. 设幂级数

?an?2n?1nx的收敛半径是4，则幂级数

n?0?anx的收敛半径是 2 n?09. 设f(x)连续，则ddx?bf(x?y)dy?f(b?x)?f(a?x) ，其中a，b为常数，且a?ba。

?10. 根据函数的Fourier级数展开式，数项级数???xn?1???ecosnxdx之和是??sh?

阅卷教师

得分 三、(本大题共3小题，共计20分)

11.（8分） 求曲线x?3t2?t3,y?t?t3,z?2t2?4t在对应于t?1点处的切线方程和法平面方程。

解：xtt?1?[6t?3t2]t?1?9，ytt?1?[1?3t2]t?1??2，ztt?1?[4t?4]t?1?0

则曲线在该点的切向量是??(9,?2,0) ………④ 于是，曲线在该点的切线方程为：x?4?y9?2?z?20 ………②

曲线在该点的法平面方程为：9(x?4)?2y?0 ………②

12.（6分） 设z?arccos(xy)，求zx，zy。

解：?z?y ………③ ?x?1?x2y2 ?z?x ………③

?y?1?x2y2

13.（6分） 求　y?2x3?3x2在??1，4?上的最大值,最小值

解：y/?6x2?6x

令y/?0得函数的驻点：x?0,x?1 ………② 注意到：y(?1)??5,y(0)?0,y(1)??1,y(4)?80 ………② 知y在[-1，4]上有：yMax?80 ………① ymin??5 ………①

阅卷教师 得分 四、计算积分(本大题共4小题，共计22分) 14.（4分）

?csc2x?tan2xdx.

解：?csc2x?tan2xdx??1cos2xdx ………②

?tanx?c ………②

215.（5分） ?11?2cos1 ?xxdx．22 解：?1?11112cosdx???xx?1?cosd() ………② ?xx2 ??sin1?x1 ………②

? =-1 ………①

16. (8分)

?20x24?x2dx

解：令x?2sint ………② ? 则

?2220x4?xdx?16?20sin2tcos2tdt ………②

? ?16?220(sint?sin4t)dt ………②

?16[12??2?3?14?2??2]?? ………②

? （或：?4?20sin22tdt ………②

? ?2?20(1?cos4t)dt?? ………② ）

17.（5分）

??D(x2?y2)dxdy， 其中D：1≤x≤2,0≤y≤1.

解：??2D(x?y2)dxdy??21dx?10(x2?y2)dy ………②

=?21(x2?13)dx ………②

=[1123x3?3x]1?83 ………① 阅卷教师

得分 五、 计算积分(本大题共2小题，共计16分)

18.（8分） 计算曲线积分

?L(x2?xy)dx?(y2?xy)dy，其中L是从点A(1，－1)沿

y=－x到点B(－3，3)的直线段。

解：在直线L上y??x,dy??dx ………③ 于是，?(x2?xy)dx?(y2?xy)dy???3L1(x2?x2)dx?(x2?x2)d(?x) ………②

=4??31x2dx?4?33[x3]1 ………②

=?3713 ………①

2

19. (8分) 计算曲面积分

???(y?xz)dzdx?(z?xy)dxdy 其中Σ是由曲面

x2?y2?z?1与平面z?0所围空间区域的外表面。

解：记已知曲面所围的空间区域为Ω，则由Gauss公式有

???(y?xz)dzdx?(z?xy)dxdy?????2dv ………③

令：x??cos?,y??sin?,z?z，则有 =2?2?11??20d??0?d??0dz ………②

=4??10(???3)d? ………② =π ………① 阅卷教师 得分 六、（本大题1小题，计9分）

20.（9分）

??2x,0?x??f?x??? 设???,??x?3?2 又设S?x?是以2?为周期的函数f?222?x?的Fourier

?5???2?x,3?2?x?2?级数之和函数，求S??????2??,S?4??,S??????4??。 解：s(??2)?s(??2?2?)?s(3?2)?12[?2?(5?2?3?3?2)]?4 ………③

s(4?)?s(0)?12[0?(5?2?2?)]??4 ………③

s(??4)?s(??4?2?)?s(7?5?4)?2?7?4?3?4 ………③

3

阅卷教师 七、(本大题1小题，计7分)

得分 ?21.（7分） 求幂级数

??2n?!n!?2xn的收敛半径。 n?1? 解：由于[2(n?1)]!(n!)22(n?1)(2n?1)2(2n?1)[(n?1)!]2?(2n)!?(n?1)2?n?1 2(2?1 =

n)?4(n??时) ………⑤ 1?1n 于是，收敛半径 R?14 ………②

阅卷教师 得分 八、(本大题共2小题，共计16分)

22.（8分） 求微分方程(x?1)dydx?ny?ex(x?1)n?1的通解。 解：方程化为一阶线性非齐次微分方程：

dyndx?x?1y?ex(x?1)n ………② 其相应的齐次方程

dydx?nx?1y?0有通解：y??c(x?1)n ………③ 常数变易得c所满足的微分方程：dcdx?ex， 积分得：c?ex?c1 于是，所求微分方程的通解为：y?(x?1)n(ex?c1) ………③

（或由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：y?(x?1)n(ex?c) ………⑥ ）

23.（8分） 求微分方程 d2xdt2?2dxdt?8x??5tet 的通解。 解：相应线性常系数齐次微分方程为：?x??2x??8x?0

其通解为：x?c?4tt1e?c2e2 ………④

设非齐次方程有特解：x??(at?b)et，将其代入非齐次方程，整理并消去ex得：?5at?4a?5b??5t

解得：a?1,b?45，则 x??(t?45)et

于是，所求微分方程的通解为：

x?c?4tt1e?c2e2?(t?45)et ………④