平面向量在平面几何和物理中的应用自己整理

平面向量在几何中的应用学案

学习重点：以向量为工具，可以将几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，使问题思路更简明，形象直观，从而较易解决几何问题．下面就平面向量在解几中的应用说明如下： 1．证明共线或平行问题

例1 设在平面上给定一个四边形ABCD，E、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是边AB、BC、CD、 DA的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形．

H D G C F

A

E

变式练习：在平行四边形ABCD中，如图３，点M是AB的中点，点N

1上且有BN=3BD，求证：Ｍ、Ｎ、Ｃ三点共线．

D B 图１

C 在线段BD

Ｍ B Ｎ

２．证明垂直问题 例２ 如图所示，Ｐ是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，试证明：PA⊥EF．

y

Ｂ Ａ

Ｐ Ｅ x A CO?AB Ｄ 变式练习：已知?ABC的高AD、BE交于O点，连结CO，证明：

Ｆ 图２

３．解证比值问题

例３ 如图２，设点Ｇ是?ABC的重心，AB＝a，AC＝b， 过点Ｇ的直线l分别与线段AB，AC相交于P，Q两点， 设AP?ma，AQ?nb（m,n是正实数）．

11?lmn为定值． 求证：当直线绕点Ｇ旋转时

Ｂ Ｐ A Ｑ Ｇ l 图３

Ｃ

1

变式练习：如图，在?ABC中，点Ｍ是BC的中点，点N在边AC上， A 且AN=2NC，AM与BN相交于点P， 求AP：PM的值．

４．解决有关最值问题

B Ｐ N

C

例４ 如图，平面内Rt?ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ?BCM 的夹角?为何值时，BP?CQ的最大值？并求这个最大值．

Ｐ 222变式练习：在?ABC中，求一点Ｐ，使AP?BP?CP最小．

y

Ｃ Ｑ

Ａ Ｂ 图４

x

A

5、解决点的坐标问题

例5.三角形重心的计算: 已知：

Ｄ Ｐ

B

A?x1,y1?，

B?x2,y2?，

C?x3,y3?C

，求重心G的坐标.

6、向量在物理中的应用

例6:在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴?为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例7:如图，一条河的两岸平行，河的宽度d?500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的

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速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

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113一定是( ) 1?OP2?OP3?0且OP1OP2?OP2OP3?OP3OP1，则?PPP1.平面内有OPA钝角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形

2.已知△ABC的三个顶点A.B.C及所在平面内一点P满足PA?PB?PC?AB，则点P与△ABC的关系为是( ）

(A）P在△ABC内部或外部 (B）P在△ABC的BC边的一个三等分点上 (C）P在AB边所在直线上 (D）P在△ABC的AC边的一个三等分点上

3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是?ABC的( ）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点

4.若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C等于——――

?5.已知|p|=22,|q|=3,p.q的夹角为4，如下图所示，若AB =5p+2q,AC=p－3q，且D为BC的中点，

则AD的长度为

6．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC |=2,则OC=

7.已知平面上直线l的方向向量e=(-则O'A'?λe，其中λ=

8.已知点A(3，1），B(0，0）C(3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有

43,55)，点

O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为O'和A'，

BC??CE,其中?等于

3

9．在?ABC中，O为中线AM上一个动点,若AM=2，则OA?(OB?OC)的最小值是 ————.

10.某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为

mm11.河水的流速为2s，一艘小船想以垂直于河岸方向10s的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为

12.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h.

13.当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为?，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则?的值为 5.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后求点P的坐标

6．已知向量OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?m,?(3?m)).①若点A.B.C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，求实数m的值.

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