数量关系

??例题精讲

【例1】（江苏2010A-26）一个正方体与其内切球体的表面积的比值是（ ）。 A. 1/π B. 3/π C. 6/π D. 2/π （审题，表面积 球）

【例2】（国家2012-80）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。己知正方体的边长为6 厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（ ） A. 18 2 B. 24 2 C. 36 D. 72 （有图形，割补，平移）

【例3】（北京社招2010-80）某单位计划在一间长15 米、宽8 米的会议室中间铺一块地毯，地毯的面积占会议室面积的一半。若四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的宽度为多少？（ ） 关键点差不变 x（x+7）=60 A. 3 米B. 4 米 C. 5 米D. 6 米

【例4】（2010 年425 联考-91）一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（ ）倍。 割 A. 2 B.1.5 C. 3 D. 2

【例5】如右图所示：三个半径为5cm 的圆，每个圆都过另外两个圆 的圆心。请问阴影部分的面积之和为多少平方厘米？ A. 29.25 B. 33.25 C. 39.25 D. 35.35 【例6】（湖北2009-100）在右图中，大圆的半径为8，求阴影部分的面积是多少？ A. 120 B. 128 C. 136 D. 144

一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： 1. 所有对应角度不发生改变 2. 所有对应长度变为原来的m倍 3. 所有对应面积变为原来的m2倍 4. 所有对应体积变为原来的m3倍

【例7】（深圳教育2010A-56）等边三角形的每条边增加1/3倍，则它的面积增加了（ ）倍。（重要）

A.1/9 B.1/3 C.7/9 D.4/3 （增加了和变的区别）

【例8】（山西政法2009-97）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，E 为棱CC1的中点，如果将正方体的棱长扩大到3 倍，则四面体E—A1BD的体积扩大为原来的多少倍？（ ）

A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 ??本讲答案： BB CCCBC BCD

第十二讲：年龄问题

??课前自测

【自测题1】（河北招警2010-33）甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9 岁。问多少年前，甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2 倍？（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

【自测题2】（云南村官2009-20）前年，父亲年龄是儿子年龄的4 倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3 倍。父亲今年（ ）岁。 A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 ??知识点

一般来说，年龄问题通过方程法解答最为有效，而“年龄差不变”是题型的核心所在。 数字特性法

前年（-2），后年（+2），去年（-1），明年（+1） ??例题精讲

【例1】（2011 年424 联考-41）刘女士今年48 岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2岁。”问姐姐今年多少岁?（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 不确定

【例2】（北京2011-85）一个三口之家的年龄之和为99，其中，母亲年龄比父亲年龄的3/4 大7岁，儿子年龄比母亲年龄的1/5 大7 岁。问多少年后，父亲年龄是儿子年龄的2 倍？（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 10 【例3】（河北2009-118）在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73 岁。家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。父亲比母亲大3 岁，女儿比儿子大2 岁。四年前家庭里所有的人的年龄总和是58 岁，现在儿子多少岁？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【例4】（内蒙古2009-10）哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在年龄的和是30 岁。问哥哥现在多少岁？

A.15 B. 16 C. 18 D. 19

【例5】（北京应届2007-16）爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64 岁。当爸爸是哥哥年龄3 倍时，妹妹是9 岁，当哥哥是妹妹年龄2倍时，爸爸34 岁。现在爸爸的年龄是（ ）岁。 A. 34 B. 39 C. 40 D. 42

【例6】（北京应届2008-15）甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8 岁；当乙像甲这么大时，甲29 岁。问今年甲的年龄为几岁（ ） A. 22 B. 34 C. 36 D. 43 ??本讲答案： BB CBACC A

第十三讲：容斥原理（上）（尾数法）

??课前自测 【自测题1】（上海2012A-61）某班有50 位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15 人，数学不及格的有19 人，英文和数学都及格的有21 人。那么英文和数学都不及格的有______人。 A. 4 B. 5 C. 13 D. 17

【自测题2】（重庆法检2011-66）某专业有学生50 人，现开设有A、B、C三门选修课。有40人选修A课程，36 人选修B 课程，30 人选修C 课程，兼选A、B 两门课程的有28 人，兼选A、C两门课程的有26 人，兼选B、C 两门课程的有24 人，A、B、C 三门课程均选的有20 人，那么，三门课程均未选的有（ ）人。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ??知识点

??公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型；

??图示法：“条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。 ??例题精讲 核心提示

两集合容斥原理公式：

的个数+ 的个数－ 的个数＝ － 的个数

【例3】做对，饶人

【例5】（北______京社招2009-24）对39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17 种，含乙的有18 种，含丙的有15种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6 种，含乙、丙的有9 种，三种维生素都不含的有7 种，则三种维生素都含的有多少种？ A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 核心要点

当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。 1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分； 2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形； 3. 标数时，注意由中间向外围标记。

【例6】（江苏2007B-77）一次运动会上，18 名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 名参加了蛙泳，有12 名参加了自由泳，有4 名既参加仰泳又参加蛙泳，有6 名既参加蛙泳又参加自由泳，有5 名既参加仰泳又参加自由泳，有2 名这3 个项目都参加，这18 名游泳运动员中，只参加1 个项目的人有多少？ A. 5 名B. 6 名 C. 7 名D. 4 名 做对，典型 注：能用公式用公式，不能用画图，注意标数字 ??本讲答案： BB DDCCA B

第十四讲：容斥原理（下）

??课前自测

【自测题1】（重庆选调2010-89）奥运会期间共有英语、日语和德语翻译人员60 人，其中能做英语翻译的有31 人，能做日语翻译的有31 人，能做德语翻译的有21 人，既能做英语翻译又能做日语翻译的有12 人，既能做英语翻译又能做德语翻译的有6人，三种语言翻译都能做的有3 人，则只能做德语翻译的人有多少个？ A. 10 个B. 12 个 两种方法，画图、英语+日-英日=总-不英不日 C. 14 个D. 16 个

【自测题2】（河北事业单位2011-7）在1、2、3、……、2010 中，既不能被8整除，也不能被12 整除的数有（ ）个。 A. 1592 B. 1612 C. 1659 D. 1675 ??知识点

??公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型；

??图示法：“条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。 ??例题精讲

【例1】（福建秋季事业单位2011-70）如图，在边长为10 厘米的

正方形中画了两个1/4 圆，图中两个阴影部分的面积差是多少平方厘米？ （ ） A. 55 B. 57 C. 46 D. 37

【例2】（国家2007-55）一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午

在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是12 天，他上午呆在旅馆的天数为8 天，下午呆在旅馆的天数为12 天，他在北京共呆了多少天？（ ） A. 16 天B. 20 天 C. 22 天D. 24 天

核心公式：在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C（三个圆），而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下面两个等式：w=x+y+z=总-外，A(89)+B(47)+C(63)=1x+2y+3z 【例3】（江苏2009A-19）某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125 人进行调查，有89 人看过甲片，有47 人看过乙片，有63 人看过丙片，其中有24 人三部电影全看过，20 人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（ ）。 A. 69 B. 65

C. 57 D. 46 典型 公式用法：问只满足一个或两个条件时

【例4】（2011 国考-74）某市对52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7 种，有1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 37 B. 36 C. 35 D. 34

【例5】某班39 名同学参加短跑、跳远、投掷三项体育比赛，人数分别为23 人，18 人，21 人，其中三项全部参加的有5 人，有3 人仅参加跳远比赛，有9 人仅参加投掷比赛，那么仅参加短跑比赛的有多少人？（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 公式或画图 ??本讲答案： AD BADDC

第十五讲：排列组合（上）

【例2】（深圳2011-12）奶奶有6 颗口味各不相同的糖，现分给3个孙子，其中1人得1 颗，1人得2颗，1人得3颗，则共有（ ）种分法。 A. 60 B. 120 C. 240 D. 360

【例3】（上海2011B-65）小凯家住在A区，但在B区上学，每天上学必须经过河上的一座桥。小凯从他家到这座桥有若干不同的路可走，而从这座桥到学校可走的路要比从他家到这座桥的路多3条，这样他从家出发经过这座桥到学校共有40种沿不同路线的走法。则小凯从家到这座桥有（ ） 条不同的路可走。 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【例4】（湖南法检2011-48）某法院刑事审判第一庭有6 位工作人员，现需要选出3 位分别参与乒乓球、羽毛球、跳绳比赛，每人参与一项比赛，其中甲不能参与跳绳比赛，则不同的选派方案共有（ ）。（先考虑特殊，后一般） A. 64 种B. 80 种 C. 100 种D. 120 种