东北师大附中高考数学第一轮复习 基本不等式及其应用A(文理)(1)

基本不等式及应用(教案)A

一、 知识梳理： 1、基本不等式 (1)重要不等式:如果a,b

,那么+

2ab.当且仅当a=b时,等号成立.

(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么

可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、重要结论： （1）a+

2 （a

）

1

（2）a+2（a）1

（3）、

（4）、+ab+bc+ca

（5）、 （ a,b>0.）

（6）、

+

3、如果a,b讲内容)

,那么(不等式证明选

4、推广：对于n个正数均数.即

它们的算术平均数不小于它们的几何平

1

二、题型探究

探究一：利用基本不等式求最值： 例1： （1）x,y

,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值 ；

（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2

即：和定，积最大；积定，和最小。

应用基本不等式的条件： （1）、一正：各项为正数； （2）、二正：“和”或“积”为定值； （3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。 例1：解答下列问题 （1） 已知x

，求x+

的最小值；

（2） 已知0 ，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；

（3） 求函数y=

（4） 已知x ，且x+y=1，求+。

探究二：基本不等式的实际应用

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；

2

（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3）、在定义域内，求出函数的最值； （4）、正确写了答案。 例2：

某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。 （1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域； （2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？

三、方法提升

基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。 四、反思感悟

五、课时作业

11

1．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )

abA．2 B．22 C．4 D．5

3

?a＝b，112

解析：选C.∵＋＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.当且仅当?

abab?ab＝1

号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.

t2→

2．设点P(＋，1)(t>0)，则|OP|(O为坐标原点)的最小值是( )

2tA．3 B．5 C.3 D.5 →

解析：选D.由已知得|OP|＝得等号．

时，等

t22

(＋)＋1≥2t(2

t22

×)＋1＝5，当t＝2时取2t111

3．(原创题)若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β2ab的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

1111

解析：选D.因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋

ababbaabab4．若a＋b＝2，则3＋3的最小值是( )

＝1＋1＋＋1＋≥5，故选D.

4

A．18 B．6 C．23 D．23

ababa＋b解析：选B.3＋3≥23·3＝23＝6.

11

5．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是( )

22x－1

A．2 B．1 C．－1 D．－2

111

解析：选C.y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，由x<可得1－2x>0，

2x－11－2x2

11

根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，

1－2x1－2x则ymax＝－1.正确答案为C.

11ab6．设a>0，b>0，若3是3与3的等比中项，则＋的最小值为( )

ab1

A．8 B．4 C．1 D.

4

aba＋b解析：选B.由题意知3·3＝3，即3＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，

1111baba所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2·＝4，

ababab当且仅当a＝b时，等号成立．

7．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是( )

4

A．θ＝1，r＝S B．θ＝2，r＝S

4

ab