2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质 第2课时 三角

由函数图象(图略)可知，－

π?3π32＋3?≤sin?2x－?≤1，即0≤sin(2x－)＋≤. 3?2322?

2＋3

故f(x)的最小值为0，最大值为.

2

解决三角函数图象与性质综合问题的方法

先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋

φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

π?? 已知函数f(x)＝2sin?2x－?.

4??

(1)求函数的最大值及相应的x值的集合； (2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．

π?ππ?解：(1)当sin?2x－?＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，

4?42?3π

即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2；

8

???3π

故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为?x?x＝＋kπ，k∈Z?.

8???

ππ

(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，

423π1

得x＝＋kπ，k∈Z.

82

3π1

即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.

82ππ1

由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，

482

?π1?即对称中心为?＋kπ，0?，k∈Z.

?82?

[基础题组练]

1．函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) A.

π

2

B.2π 3

C．π

解析：选C.因为y＝2?D．2π

1?3?

sin 2x＋cos 2x?＝

2?2?

5

π?2π?2sin?2x＋?，所以T＝＝π. 6?2?

2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( ) A．0 C．－1

B．3 D．－2

解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2， 即tan b＋sin b＝1.

所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1 ＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.

?π?3．若?，0?是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值?8?

是( )

A．2 C．6

B．4 D．8

π??解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin?ωx＋?，

4??

?π??ωπ＋π?＝0，所以ωπ＋π＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－

由题意，知f??＝2sin?4?84?8??8?

2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.

π

4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是( )

3A．是奇函数

π

B．在区间(0，)上单调递减

3π

C．(，0)为其图象的一个对称中心

6D．最小正周期为π

ππ

解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，

33ππkπkπππ

B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，232466π

所以它的图象关于(，0)中心对称，故选C.

6

π??5．已知函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) 6??

?π?A．关于点?，0?对称

?3?

B．关于点?

?5π，0?对称

??3?

6

π

C．关于直线x＝对称

35π

D．关于直线x＝对称

3

π?2π?解析：选B.函数f(x)＝2sin?ωx＋?(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，6?ω?1xππ2?1π?所以ω＝，即f(x)＝2sin?x＋?.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋6?22623?22xπ

2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ

3261?5?－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心?π，0?.

3?3?

π???π?*

6．若函数y＝cos?ωx＋?(ω∈N)图象的一个对称中心是?，0?，则ω的最小值

6???6?为 ．

πωππ*

解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N，所以ωmin

662＝2.

答案：2

π??7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos?2x＋?；④y6??＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．

解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由π?π2π?2x＋图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos?的最小正周期T＝＝π；④y?6?22?＝tan 2x的最小正周期T＝

答案：①③

π

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为

6常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．

π

解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ

6ππ

－＝kπ＋，k∈Z， 62

252π6π所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.

3355

36π答案： 5

π

.因此①③的最小正周期为π. 2

7

π??π??π?2?9．已知函数f(x)＝2cos?x－?＋2sin?x－?·sin?x＋?.求函数f(x)的最小正周?6??4??4?期和图象的对称中心．

解：因为f(x)＝2cos2??π?x－6???＋2sin??π?x－4???·sin??π?x＋4??? ＝cos??π?2x－3???＋1＋2sin???x－π4???sin???x＋π2－π4???

＝cos???2x－π3???＋2sin??π?x－4???cos??π?x－4???＋1 ＝12cos 2x＋3?π?2sin 2x＋sin??2x－2??＋1

＝

32sin 2x－1

2

cos 2x＋1 ＝sin??π?

2x－6???＋1，

所以f(x)的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为??πkπ?12＋2，1???，k∈Z.

10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)??2π?0<φ<3???的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点??π

3??6，2??，求f(x)的单调递增区间．

解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝2π

ω＝π，所以ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展开整理得sin 2xcos φ＝0， 已知上式对?x∈R都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<

2π3，所以φ＝π2

. (2)因为f??π?6???＝32，所以sin???2×π6＋φ???＝32，

即π3＋φ＝π3＋2kπ或π3＋φ＝2π

3＋2kπ(k∈Z)， 故φ＝2kπ或φ＝π

3

＋2kπ(k∈Z)，

8