实验2 离散傅里叶变换(DFT)1

实验2 离散傅里叶变换(DFT)

一、实验目的

(1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本概念的理解。

(2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)与周期序列傅里叶级数(DFS)、离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系。

(3)掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换和逆变换的方法。

二、实验内容

1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系

3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系

三、实验环境

MATLAB7.0

四、实验原理

1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)

在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为

nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WN,n?0N?1k?0,1,?,N?1 (2-1)

1N?1?nkx(n)?IDFT[X(k)]??X(k)WN,Nk?0的。式中，WN?e处理带来了方便。

?j2πNn?0,1,?,N?1 (2-2)

从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散

即仅在单位圆上N个等间距的点上取值，这为使用计算机进行

由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序编写上也基本一致。

例2-1 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT和IDFT。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X(k)］图形进行比较。 解 MATLAB程序如下：

>> title('|X(k)|');

运行结果如图2-1所示。

x(n)8642086420IDFT|X(k)|024|X(k)|68024arg|X(k)|68302042010-202468-4024680

图2-1 例2-1有限长序列的傅里叶变换和逆变换结果

从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N点的离散序列。

2.有限长序列DFT与周期序列DFS的联系

将周期序列的傅里叶级数变换与有限长序列离散傅里叶变换对(式(2-1)和式(2-2))进行比较，可以看出两者的区别仅仅是将周期序列换成了有限长序列。

例2-2 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)周期重复次数为4次时的DFS。要求：

(1)画出原主值和信号周期序列信号。

(2)画出序列傅里叶变换对应的X(k)和arg[X(k)]的图形。 解 MATLAB程序如下：

~~

运行结果如图2-2所示。

原主值信号x(n)8642086420周期序列信号024|X(k)|6801020arg|X(k)|304015010042050-2010203040-40102030400

图2-2 例2-2周期序列的傅里叶级数(DFS)结果

由这个周期序列的实验我们可以看出，与例2-1相比，有限长序列x(n)可以看成是周期序列x(n)的一个周期；反之，周期序列x(n)可以看成是有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓。频域上的情况也是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。

~~3.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系

离散时间傅里叶变换(DTFT)是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。 如果离散时间非周期信号为x(n)，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为

?DTFT[x(n)]?X(ejω)?1IDTFT[X(e)]?x(n)?2πjωn???π?jωωx(n)e??πjωjωωX(e)edω?

jωjω?(ω)其中X(ejw)称为信号序列的频谱。将频谱表示为X(e)?X(e)e.|X(ejw)|

称为序列的幅度谱,

?(ω)?arg?X(ejω)?称为序列的相位谱。

从离散时间傅里叶变换的定义可以看出，信号在时域上是离散的、非周期的，而在频域上则是连续的、周期性的。

与有限长序列相比，X(ejw)仅在单位圆上取值，X(k)是在单位圆上N个等间距的点上取值。因此，连续谱X(ejw)可以由离散谱X(k)经插值后得到。

为了进一步理解有限长序列的傅里叶变换(DFT)与离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系，我们举例说明离散时间傅里叶变换的使用方法和结果。

例2-3 求x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，0≤n≤7的DTFT，将(－2p，2p)区间分成500份。要求：

(1)画出原信号。

(2)画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X(ejw)和相位谱arg［X(ejw)］图形。 解 MATLAB程序如下：

运行结果如图2-3所示。

10x(n)503001234567幅度谱2010-62-4-20246相位谱0-2-6-4-20246

图2-3 例2-3离散时间傅里叶变换(DTFT)的结果