第二十二章 一元二次方程小结与复习

第二十二章 一元二次方程小结与复习（一）

教学目标

1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力.

2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法.

3、掌握本章的主要数学思想和方法. 重点难重

重点：一元二次方程解法.

难点：选用适当的方法解一元二次方程. 教学过程

（一）复习引入

1、回顾本章的主要数学思想和方法.

本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决.如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解.也可以用一元二次方程的求根公工直接求解.配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法.

2、理清本章的知识结构图.

请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来.

整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用： 方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善. 方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流.

方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本P.29的知识结构图）.

说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力.

（二）讲解例题 例1 选择题：

（1）mx-3x+x=0是关于x的一元二次方程的条件是 （ ） A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数

（2）用配方法解方程4 x+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ） A（x+2）=19 B（2 x+1）=16 C（x+ ）=4 D（x+1）=4 答案：B C

评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1.

（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视.

例2 选择适当的方法解下列方程：

（1）（x-1）+ x（x-1）=0 （2）9（x-3）-4（x-2）=0 （3）-2y+3= y （4）x+2 x-4=0

[解]（1）中主程左边有因式x-1，不能将方程程两边同除以x-1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（x-1）[（x-1）+2 x]=0，所以x1=1，x2=

（2）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（x-2）=4(x-2)，然后直接开平方得3（x-3）=±2（x-2），再求方程的解，解得x1= ，x2=5.

（3）中方程可化为4y+y-6=0，△=1-4×4（-6）=97＞0，解得x1= ，x2= （4）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得x1=- + ，x2=- -

评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法. 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式.

3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解.

（三）巩固练习 1填空：

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（1）（k-1）x-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 . （2）填写下表. 一元二次方程 3 x-5=2 x （x+1）=4 πx=0 x（x + ）=0 2222

一般形式 二次项数 一次项系数 常数项 答案：（1）k≠1.（2）见下表： 一元二次方程 3 x-5=2 x （x+1）=4 x =0 x（x+ ）=0 222一般形式 3 x-2 x-5=0 x+-3=0 x =0 x + x=0 22 22二次项系数 3 1 π 1 一次系数 -2 2 0 常数项 -5 -3 0 0 2、选做课本复习题一中B组第1，2题. （四）课堂小结

1、一元二次方程的一般形式是什么？

2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？ 3、怎么选择适当的法解一无二次方程？ （五）思考与拓展

1、已知方程mx+mx+3m-x+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程.

答案：m≠1，m=1

2、选做课本复习题一的C组题. 布置作业

课本复习题一中A组第1、2、3题. 教学后记：

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