2014届步步高大一轮复习讲义8.8

11，0，?， F?2??2

11→→

0，－，－?，DC＝(0,1,0)， EF＝?22??

→→

EF·DC2→→→→

∴cos〈EF，DC〉＝＝－，∴〈EF，DC〉＝135°，

2→→

|EF||DC|∴异面直线EF和CD所成的角是45°.

提醒 两异面直线的方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补．

4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为 1

A. 2答案 B

解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，

1

1，0，?，D(0,1,0)， 则A1(0,0,1)，E?2??

1→→

1，0，－?， ∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝?2??y－z＝0，??

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则?1

1－z＝0，??2

?y＝2，?

∴? ?z＝2.?

C.

3

3

2B. 3

2 D.

2

( )

22

∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.

3×13

2

即所求的角的余弦值为.

3二、填空题(每小题5分，共15分)

5 . 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．

答案 60°

解析 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， →→

则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)， →→∴EF·BC1＝2，

21→→

∴cos〈EF，BC1〉＝＝，

2×222∴EF和BC1所成的角为60°.

6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1

与AE所成角的余弦值为________．

30

答案

10解析 建立坐标系如图，

则A(1,0,0)，E(0,2,1)，

B(1,2,0)，C1(0,2,2)， →→

∴BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，

→→BC1·AE→→

∴cos〈BC1，AE〉＝ →→|BC1||AE|

30＝. 10

7．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

23答案

3解析 如图建立空间直角坐标系，

则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)， D(0,0,0)，B(2,2,0)，

→

∴D1A1＝(2,0,0)， →→

DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，

→?DA1＝2x＋2z＝0?n·

设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则?.令x＝1，则n＝(1，

→?DB＝2x＋2y＝0?n·－1，－1)，

→

|D1A1·n|223∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

|n|33

三、解答题(共22分)

8．(10分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 解 (1)建立如图空间直角坐标系，

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23，∴P(0,0,23)．

→→

(2)∵PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)，

→→

∴cos〈PA，BC〉

2×?－2?＋0×?－3?＋?－23?×013＝＝－，

13413

13

∴PA与BC所成的角的余弦值为. 13

9．(12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)求平面PBD与平面ABD的夹角的大小． (1)证明 如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(23，0,0)，

C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，

→→→

∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)．

→→→→∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.

(2)解 设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)， 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，

→→→则n·BD＝0，n·BP＝0.∵BP＝(－23，0,3)， y＝3x，???－23x＋2y＝0，∴?解得?23 ?－23x＋3z＝0z＝x.?3?

m·n1令x＝3，则n＝(3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.

|m||n|2∴平面PBD与平面BDA夹角的大小为60°.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

→→

1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为 1

A. 9答案 B

解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y

→→

轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，

145→→→→

－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝.

992．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C的夹角的正弦值为( )

2

A. 2

答案 C

→

解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(3，1,0)、A(0,0,2)，AC1＝(3，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以AC1与平面

→|AC1·n|36

BB1C1C所成角的正弦值为＝＝.故选C.

→84|AC1||n|

D1P

3.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC

D1B为钝角时，则λ的取值范围是

( )

15 5

6 4

6 3

( )

4B.5 9

2

C.5 9

2 D. 3

B. C. D.