当前位置：首页 > 小学奥数题型与解题思路大全1-60讲
而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将360分解质因数，得
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这24个约数的和是：
例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7；
97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。 发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数N，当分解质因数为：
因为8=1×8=2×4=2×2×2，
所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或23×3，或2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是24。 【倍数问题】 例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。
6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。
因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：
1×36+2×30+5×25=221（分）。
4元4角2分=442（分），442÷221=2。
所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
例2 从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。
例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。 当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积； 当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积； 当一边取10，另一边取9时，有1个积。 所以，不相等的乘积中，被6整除的共有： 13+7+1=21（个）。
例4 设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有______种不同的值。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为72=23×32，它共有约数 （3+1）×（2+1）=12（个）
这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值；
当a=22×32=36时，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2种不同的值； 当a=23×3=24时，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2种不同的值。 当a=2×32=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。 所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。
10、余数问题
【求余数】
（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）
一组，就可得到331组，尚余4个6。
而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。 例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。 9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。 7×3=21，21÷9=2……3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。
要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。 所以，最多能选出77个。 【同余问题】
例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。
（全国第一届“华杯赛”初赛试题）
讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。 例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。
例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。 （哈尔滨市小学数学竞赛试题）
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。
加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。
因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。
例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。 余数是0：7、14、21、28 余数是1：1、8、15、22、29 余数是2：2、9、16、23、30 余数是3：3、10、17、24 余数是4：4、11、18、25 余数是5：5、12、19、26 余数是6：6、13、20、27 要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。
故最多可以取15个数。
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