北京交通大学(数字分析研究生课程)2.求根课件-11

证明 存在性

易证迭代函数 ?(x)?C[a,b]。作辅助函数

?(x)?x??(x)

显然?(x)?C[a,b]。由条件1知

?(a)?(b)?0

由中值定理，至少存在一个??[a,b]，使?(?)?0，即???(?)，这说明?(x)在[a,b]上有不动点?。

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唯一性

如果?(x)在[a,b]上还有一个不动点?，有???(?)，利用条件2，有

????????(?)??(?)??L???????????

矛盾，这就证明了满足定理条件的?(x)在[a,b]中有唯一的不动点，记为x*。

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?xk?的收敛性

由x*是不动点、迭代格式及条件2，有

?xk?x*????(xk?1)??(x*)??L?xk?1?x*??L2?xk?2?x*????Lk?x0?x*?

注意到0?L?1，在上式中令k??，可得

Lk?0，有 limk???xk?x*??0，因而有limk??xk?x*

定理得证。

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例2.3证明迭代格式

xk?1?3?0.5xk,x0??15

产生的数列是收敛的。

证明 由迭代格式可知迭代函数为

??x??3?0.5x

取其定义区间为实数R，显然有?x?R???x??R，另外任取?x1,x2?R有

??(x1)??(x2)????????x1????????x2??0.5?x1??x2?0.5?x1?x2?取L=0.5<1，则由定理有?x0?R，迭代数列?xk?都收

*x敛于不动点，故有本题结论成立。

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