北京交通大学(数字分析研究生课程)2.求根课件-11

如果用式（2.8）估计求得迭代次数k，因为k要满足

k?ln???L??x1?x/lnL049?13?10?3?ln169?7?2/lnL

?ln?7/26000?ln?120/169??24.006?结果给出要迭代25次才行，估计明显偏大。

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定理2.4 设x*是迭代函数?(x)的不动点，m为正整数，且?(m)**xN(x)内连续，并有关系：?x?在的邻域

??(x*)?0,???(x*)?0,?,?(m?1)(x*)?0,?(m)(x*)?0，则有

xk?1??(xk)产生的数列{xk}在N(x*)上是m阶收敛

的，且有

xk?1?x*?(m)(x*)lim? （2.9） k??(x?x*)mm!k

*?'(x)?0，由于一般情况下故简单迭代法通常是线

性收敛的，但对某个具体的迭代函数可以达到超线性或更高阶收敛。

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例2.6 确定常数p，q，r使迭代函数

aa2f?x??px?q2?r5

xx构造的迭代数列局部收敛到??3a,a?0，并有尽可

能高的收敛阶（要求给出这个阶数）。 解:由题意有迭代格式为

xaa2k?1?pxk?qx2?r5kxk

它要局部收敛到?，则?就是其不动点，即有关系

2??p??qaa?2?r?5

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将??3a代入并整理有:

p?q?r?1

此外要想有尽可能高的收敛阶，由定理2.4还应该有

f?(?)?0,f??(?)?0,?

由于有3个参数，此要有三个方程才有可能有唯一解。选取f?(?)?0,f??(?)?0有

?aa2f????p?2q?3?5r?6?0??????6qaa2f ?4?30r?7?0

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