衡阳市2017年中考数学模拟试卷

∴∠ACF=∠B， 而∠CAG=∠BAC， ∴△ACG∽△ABC， ∴AC：AB=AG：AC， ∴AC2=AG?AB=12， ∴AC=2

．

26．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=的图象经过D点． （1）证明四边形ABCD为菱形； （2）求此反比例函数的解析式；

（3）已知在y=的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；

（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例

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函数的解析式；

（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【解答】解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴OA=4，OB=3，OC=2， ∴AB==5，BC=5，

∴AB=BC，

∵D为B点关于AC的对称点， ∴AB=AD，CB=CD， ∴AB=AD=CD=CB， ∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点， ∴4=， ∴k=20，

∴反比例函数的解析式为：y=；

（3）∵四边形ABMN是平行四边形， ∴AN∥BM，AN=BM，

∴AN是BM经过平移得到的， ∴首先BM向右平移了3个单位长度， ∴N点的横坐标为3， 代入y=， 得y=

，

∴M点的纵坐标为：

﹣4=，

∴M点的坐标为：（0，）．

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27．如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；

（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

2

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先求出点A坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=﹣（x﹣1）2+，即可求出最大面积；

（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q坐标． 【解答】解：（1）∵B（1，0），C（0，3）， ∴OB=1，OC=3．

∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合． ∴OA=OC=3， ∴A（﹣3，0），

∵点A，B，C在抛物线上， ∴

，

∴，

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∴二次函数的解析式为y=﹣x﹣2x+3， （2）设点P（x，0），则PB=1﹣x， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=4， ∵C（0，3）， ∴OC=3，

∴S△ABC=AB×OC=6， ∵PE∥AC， ∴△BPE∽△BAC， ∴

，

2

∴S△PBE=（1﹣x），

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）=﹣（x+1）+， 当x=﹣1时，S△PCE的最大值为．

（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4， ∴顶点坐标（﹣1，4），

∵△OMQ为等腰三角形，OM为底， ∴MQ=OQ， ∴

∴8x2+18x=7=0， ∴x=∴y=∴Q（

， 或y=，

， ），或（

，

）．

=

，

2

2

2

2

2

2

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