高中数学二轮复习 专题2 三角函数与平面向量（第1讲）课时作业 新人教A版

【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题2 三角函数与平面向量

（第1讲）课时作业 新人教A版

一、选择题

π

1．(2013·北京海淀期中)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(2，π)上为减函数的是( )

A．y＝sin2x B．y＝2|cosx| x

C．y＝cos2 D．y＝tan(－x) [答案] D

x

[解析] 逐个判断，用排除法．y＝cos2的最小正周期为4π，故C排除；函数y＝sin2x在区间ππ

(2，π)上不具有单调性，故A排除；函数y＝2|cosx|在区间(2，π)上是增函数，故B排除；D正确．

4π2

2．如果sinα＝5，那么sin(α＋4)－2cosα等于( ) 22A.5 42C.5

22B．－5 42D．－5 [答案] A

π2

[解析] sin(α＋4)－2cosα

ππ24222

＝sinαcos4＋cosαsin4－2cosα＝5×2＝5. 3．(文)(2014·唐山市二模)已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝( ) 2A.2 B.2

2

C．－2 D．－2 [答案] A

[解析] ∵sinα＋2cosα＝3，

∴sin2α＋22sinαcosα＋2cos2α＝3， ∴∴

sin2α＋22sinαcosα＋2cos2α

＝3，

sin2α＋cos2α

tan2α＋22tanα＋22

＝3，∴2tan2α－22tanα＋1＝0，∴tanα＝2.

tan2α＋1

10

(理)(2013·浙江理，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝2，则tan2α＝( )

- 1 -

43A.3 B.4 34C．－4 D．－3 [答案] C

[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 10

将sinα＋2cosα＝2两边平方可得， 5

sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝2， 3

∴4sinαcosα＋3cos2α＝2. 将左边分子分母同除以cos2α得，

3＋4tanα31

＝2，解得tanα＝3或tanα＝－3，

1＋tan2α

2tanα3

∴tan2α＝＝－4. 1－tan2α

4．(文)(2014·浙江理，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝2sin3x的图像( )

ππ

A．向右平移4个单位 B．向左平移4个单位 ππ

C．向右平移12个单位 D．向左平移12个单位 [答案] D

π

[解析] 本题考查三角函数图象变换．y＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋4)，只需将函数y＝2sin3xπ

的图象向左平移12个单位，选D.

π

(理)(2014·福建文，7)将函数y＝sinx的图象向左平移2个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π

π

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 π

D．y＝f(x)的图象关于点(－2，0)对称

[答案] D

[解析] 本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质．

π

平移后图象对应函数为y＝sin(x＋2)，即y＝cosx，则由y＝cosx图象性质知D正确． 5．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( ) A．f(x)既是偶函数又是周期函数 B．f(x)最大值是1

- 2 -

π

C．f(x)的图像关于点(2，0)对称

D．f(x)的图像关于直线x＝π对称 [答案] B

[解析] f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一个周期，故A选项正确．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx则t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1

3333

令g′(t)＝0，则t＝±3，易知f(x)在区间[－1，－3)上单调递减，在(－3，3)上单调递增，3323在(3，1]上单调递减，g(－1)＝0，g(3)＝9， 23

∴g(t)max＝9≠1，故B项错误．

ππ

6．(文)(2013·天津文，6)函数f(x)＝sin(2x－4)在区间[0，2]上的最小值为( ) 2A．－1 B．－2 2C.2

D．0

[答案] B

[解析] 本题考查正弦型函数的最值.

πππ3ππ

令t＝2x－4，因为x∈[0，2]，所以t∈[－4，4]，f(x)＝sin(2x－4)变为y＝sint，由正弦函数π2

的图象可知，当t＝－4，即x＝0时，f(x)取得最小值为－2.

(理)用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1、3π

x2、x3、x4、x5且x1＋x5＝2，则x2＋x4( ) π

A.2 B．π 3π

C.2 D．2π

[答案] C

[解析] 由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可知x1、x5关于x3对称，x2、x4也关于x3对称，3π

∴x2＋x4＝x1＋x5＝2，故选C. 二、填空题

π

7．(2014·陕西文，13)设0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________. 1[答案] 2

[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等． ∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.

- 3 -

π

又0<θ<2，

1

∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝2.

π

8．(2013·宝鸡二模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.

[答案]

ππ

2sin(8x＋4) [解析] 由题意得A＝2，函数的周期为T＝16，

2πππ

又T＝ω?ω＝8，此时f(x)＝2sin(8x＋φ)， ππ

又f(2)＝2，即sin(8×2＋φ)＝sin(4＋φ)＝1， πππ

解得4＋φ＝2kπ＋2?φ＝2kπ＋4，k∈Z， ππ

又|φ|<2，所以φ＝4. ππ

所以函数的解析式为f(x)＝2sin(8x＋4)．

9．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：

①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝2(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx; ④f(x)＝2sinx＋2.

其中为“互为生成”函数的是________(填序号)． [答案] ①④

ππ

[解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝2sin(x＋4)，②f(x)＝2sin(x＋4)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝2sinx＋2，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同ππ

理①f(x)＝2sin(x＋4)的图象与②f(x)＝2sin(x＋4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④ππ

f(x)＝2sinx＋2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数． 三、解答题

1

10．(文)(2013·北京文，15)已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋2cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值；

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