【精选8套高考试卷】2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

§4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用

最新考纲 考情考向分析 以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

振幅 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R A 周期 T＝2π ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 初相 ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：

x 0－φ ω0 π3π－φπ－φ－φ2错误! 2ω ωωπ 2A π 3π 2－A 2π ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 0 3．函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径

知识拓展

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．

φ

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

ω3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋横坐标．

π

，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其2

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

π?π??π?(1)y＝sin?x－?的图像是由y＝sin?x＋?的图像向右平移个单位长度得到的．( √ )

4?4?2??

(2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．( × ) T

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )

2(4)由图像求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的．( √ ) 题组二 教材改编

2．为了得到函数y＝2sin?2x－π

A．向右平移个单位长度

6π

B．向右平移个单位长度

3π

C．向左平移个单位长度

6π

D．向左平移个单位长度

3答案 A

??

π?

?的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像( ) 3?

?1π?3．函数y＝2sin?x－?的振幅、频率和初相分别为( )

3??2

π

A．2,4π， 31π

C．2，，－

4π3

B．2，

1π

， 4π3

π 3

D．2,4π，－

答案 C

1ω1π

解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. T2π4π3

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为．

3π??π

答案 y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6,14]

4??8解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 1

所以A＝×(30－10)＝10，

21

b＝×(30＋10)＝20，

212π又×＝14－6， 2ωπ

所以ω＝. 8又

π3π×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝， 84

3π??π

所以y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6,14]．

4??8题组三 易错自纠

?5．要得到函数y＝sin?4x－

?

π

A．向左平移个单位长度

12π

C．向左平移个单位长度

3答案 B

π?

的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( ) 3??

π

B．向右平移个单位长度

12π

D．向右平移个单位长度

3

π????π??解析 ∵y＝sin?4x－?＝sin?4?x－??， 3????12??

π?π?∴要得到y＝sin?4x－?的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像向右平移个单位长度． 3?12?

π

6．将函数y＝cos 2x＋1的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图像对应的表

4达式为( ) A．y＝sin 2x C．y＝cos 2x

B．y＝sin 2x＋2

?D．y＝cos?2x－

?

π?? 4?

答案 A

π?π?解析 将函数y＝cos 2x＋1的图像向右平移个单位长度得到y＝cos 2?x－?＋1＝sin 2x＋1，再向下平移

4?4?1个单位长度得到y＝sin 2x，故选A.

ππ?2π?7．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω>0，－<φ

22?3?正确的是．(填序号)

?3?①f(x)的图像过点?0，?；

?2??π2π?②f(x)在?，?上是减函数； ?123??5π?③f(x)的一个对称中心是?，0?； ?12?

④将f(x)的图像向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图像． 答案 ①③

2π

解析 ∵周期为π，∴＝π，∴ω＝2，

ω

?2π??4π?∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f??＝3sin?＋φ?， ?3??3??4π?则sin?＋φ?＝1或－1.

?3?

?ππ?4π?5π11π?， 又φ∈?－，?，＋φ∈?，6??22?3?6?

∴

π?4π3ππ?＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝3sin?2x＋?.

6?326?

3

①令x＝0，则f(x)＝，正确．

2

ππ3π

②令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

262π2π

则kπ＋

63π2π

令k＝0，得

63

?π2π?上是减少的，而在?π，π?上是增加的，错误．

即f(x)在?，?126?3??6???

5π③令x＝，则f(x)＝3sin π＝0，正确．

12π

④应平移个单位长度，错误．

12

题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换