第七讲 刚体之二2010

例： 半径为 R 的偏心圆盘，在水平面上作平面运动。圆盘的质量为 m 质心 C 离几何中心 O 点的距离为 d ，圆盘只滚动，求匀盘的运动方程。 解： （1）t=0 时，圆盘的几何中心为坐标原点，ox 方向沿水平方向， oy 方向与 ox 方向垂直，质心 C 与 y 轴的夹 角为 ? CP=r （2）应用拉格朗日方程求解： 自由度： 平面平行运动自由度为 3 ，两个平动，一个转动。因为圆盘只滚动不滑动，故平动可以用转动的角度和半径的乘积来表示，因此该系统只有一个自由度，选取 ? 为广义坐标，即： ?xC??R??dsin?? y??dcos??C动能： 121?2T?mvC?IC?221112222???m?C???m?r2??C?2?m?r???222 12?2?m?R2?d2?2Rdcos???C??2势能： V??mgdcos? 应用拉格朗日方程： 2222???R?d???2Rdcos???dRsin???dgsin??0 ??C（2）应用质心运动定理和角动量定理：

?mx??C?Fox方向*???C?FN?mgoy方向**?my ?I??C????dFNsin???R?dcos??F***其中：

???r?FN??rFNsin?k求解上述方程就可以得到：

???r?F?FN?1?dcos??k

2222???R?d???2Rdcos???dRsin???dgsin??0 ??C（3）应用能量守恒定律：

T?V?const

将动能和势能项代入方程中，并对时间求导，就可以得到运动方程。

例： 质量为 m 的乒乓球，以初速度 v0 向右沿水平面抛出，同时球具有逆时针方向的初角速度?0讨论乒乓球以后的运动状态。 解：（1）乒乓球与水平面具有滑动摩擦， （2）取质心C 点位基点， 滑动摩擦： P点的速度为： ???????e ??R?vP?vC???rCP??x??F??Fe 由于滑动摩擦是耗散力，因此该系统为非保守力体系。