江西省南昌市2016年高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

【分析】由几何体的三视图，得所求几何体是侧放的四棱锥S﹣ABCD，其中底面ABCD是直角梯形ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥AS，AB=4，CD=AD=AS=2，由此能求出这个几何体的体积．

【解答】解：由几何体的三视图，得所求几何体是如图所示的侧放的四棱锥S﹣ABCD， 其中底面ABCD是直角梯形ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥AS， AB=4，CD=AD=AS=2， ∴这个几何体的体积为： V==

故选：D．

=4．

11．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则A．[﹣，0）

的取值范围是（ ）

B．（﹣，0） C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）

【考点】直线的斜率．

【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用

，可得x0+3y0+2=0．

又y0＜x0+2，设=kOM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线

BM（不包括端点B）时，即可得出．

【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），

∴

又y0＜x0+2， 设

=kOM，

，化为x0+3y0+2=0．

当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣．

的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．

∴

故选：D．

12．已知函数f（x）的定义域为D，若对于?a，b，c∈D，．f（a），f （b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出‘F列四个函数： ①f（x）=lnx（x＞1） ②f（x）=4+sinx ③f（x）=

（1≤x≤8）

④f（x）=

其中为“三角形函数”的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，若f（x）为“三角形函数，则满足f（a）+f（b）＞f（c）或者f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min，即可．

【解答】②任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c， 不妨假设a≤c，b≤c，

设a=1.1，b=1.1，c=2时，满足a+b＞c， 由于lna+lab=ln（ab）=ln1.21＞ln2不成立，

所以h（x）=lnx，x∈[1，+∞）不是为三角形函数”；

②f（x）=4+sinx的最大值f（x）max=4+1=5，最小值f（x）min=4﹣1=3，则f（x）max﹣f（x）min=5﹣3=2＜f（x）min，即函数f（x）=4+sinx为“三角形函数”．

③f（x）=（1≤x≤8）为增函数，则最大值f（x）max==2，最小值f（x）min=1，（1≤x≤8）

则f（x）max﹣f（x）min=2﹣1＜1不成立，即函数f（x）=不是“三角形函数”． ④f（x）=

min＞1，则

==1+，则f（x）∈（1，2），最大值f（x）max＜2，f（x）

f（x）max﹣f（x）min＜1，则f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min成立，

是“三角形函数”，

故f（x）=

故是“三角形函数”的是②④，

故选：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量=（1，

），向量，的夹角是

， ?=2，则||等于 2 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案． 【解答】解：∵||=又∵ 即： ∴

故答案为：2

14． 数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为 ﹣1 ．【考点】数列递推式．

【分析】利用Sn+Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，n分别取2，3即可得出． 【解答】解：∵Sn+Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3， ∴取n=2，则3+a1=4﹣1，解得a1=0． S3+S2=2×3﹣1=5，

∴a3+2×3=5，解得a3=﹣1． 则a1+a3=﹣1．

15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为 5π ． 【考点】球的体积和表面积．

【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．

【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，

由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r， 球心到底面的距离为1，

底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r=

外接球的表面积为：4πr2=5π． 故答案为：5π．

16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两

P为l上一点， 点，设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，则的最小值为 ﹣14 ．

【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．

【分析】求出M，N的坐标和直线l的方程，设P（x，x﹣1），得出关于x的函数，利用二次函数的性质求出最小值． 【解答】解：抛物线的焦点F（0，1），∴直线MN的方程为：y=x+1． 联立方程组

得M（2+2

，3+2

），N（2﹣2

，3﹣2

）．

=

．

，

设直线l的方程为y=x+b，代入x2=4y得x2﹣4x﹣4b=0， ∵直线l是抛物线C的切线，∴方程只有一解．

∴△=16+16b=0，解得b=﹣1．即l方程为：y=x﹣1． 设P（x，x﹣1），=（2+2﹣x，4+2﹣x），=（2﹣2﹣x，4﹣2﹣x）．

=[则（2﹣x）+2][（2﹣x）﹣2]+[（4﹣x）+2][（4﹣x）﹣2]=2x2﹣12x+4=2（x﹣3）2﹣14．

∴当x=3时，取得最小值﹣14． 故答案为：﹣14．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数

的最小正周期为4π．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）=sin（2ωx+

），通过已知的最小正

周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．