2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题带答案

的点，

试验的全部结果所构成的区域为????x,y?|0?x?60,30?y?60?，这是一个长方形区域，面积为

1?30?30?1350，所以甲参加服230?60?1800，

而甲比乙先到篮球场应满足y?x，则符合题意的图形的面积为1800?务工作的概率是

13503?. 18004故答案为：

3. 4

【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力和理解能力.

15.过抛物线y?2px?p?0?的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN2的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则

PQ的最大值为______. MN【答案】【解析】 【分析】

2 2过点M，N分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M'，N'，根据均值不等式得到PQ?到答案.

【详解】过点M，N分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M'，N'， 则PQ?1MM'?NN'?MN2，得?2?MM'?NN'222?MF?NF222?MN22?MN2，可得

PQ22?. ，当且仅当MF?NF时等号成立，所以的最大值为MNMN22PQ故答案为：

2. 2

【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

a1?2a2?L?2n?1an16.对于数列?an?，定义An?为数列?an?的“好数”，已知某数列?an?的“好

n数”An?2n?1，记数列?an?kn?的前n项和为Sn，若Sn?S7对任意的n?N*恒成立，则实数k的取值范

围是______.

?916?【答案】?,?

?47?【解析】 【分析】

计算a1?4，得到an?2n?2，an?kn??2?k?n?2，根据题意a7?7k?0，a8?8k?0，计算得到答案.

2【详解】由题意，当n?1时，a1?A1?2?4，

n?1由nAn?a1?2a2?L?2an，可得?n?1?An?1?a1?2a2?????2n?2an?1?n?2?，

两式相减可得nAn??n?1?An?1?2n?1an，

nAn??n?1?An?1n?2n?1??n?1??2n?4n?2?n?1??2n?2， 整理得an??n?1n?122

由于a1?2?1?2?4，则数列?an?的通项公式为an?2n?2， 则an?kn??2?k?n?2，

由于Sn?S7对任意的n?N*恒成立，则k?2且a7?7k?0，a8?8k?0， 解得

916?k?. 47?916?故答案为：?,?.

?47?【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

三、解答题：

17.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2C?cos2B?sin2A?sinAsinC. （1）求角B的值；

（2）若BC边上的高AH满足AH?bc1BC，求?的取值范围. 22c2b?3?1?,2【答案】（1）B?（2）?? ?23???【解析】 【分析】

（1）根据正弦定理得到a2?c2?b2?ac，再利用余弦定理计算得到答案. （2）根据题意得到a2?2bcsinA，化简得到

bc?????2sin?A??，根据 2c2b4???4?A??4?11?，得到答案. 12【详解】（1）由cos2C?cos2B?sin2A?sinAsinC， 得sin2B?sin2C?sin2A?sinAsinC.

由正弦定理，得b2?c2?a2?ac，即a2?c2?b2?ac，

a2?c2?b2ac1所以cosB???.

2ac2ac2因

0?B??，所以B??3.

（2）因为BC边上的高AH满足AH?即a2?2bcsinA，

1a11BC，所以??a?bcsinA， 2222bcb2?c2a2?2bccosA2bcsinA?2bccosA?可得? ???2bc2c2b2bc2bc????sinA?cosA?2sin?A??，

4??由（1）知B??3，∴0?A?2???11?， ，∴?A??34412????3?1?,2?， ∴2sin?A?????42?????3?1?bc,2?所以的取值范围为??. ?2c2b?2?【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，利用三角函数求范围，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，

ED//FB,DE?1BF,AB?FB,FB?平面ABCD. 2

(1)设BD与AC的交点为O，求证:OE?平面ACF； (2)求二面角E?AF?C的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；(2) 【解析】 【分析】

（1）根据题意，推导出ED?面ABCD，DE?AC，OE?OF，结合线面垂直的判定定理证得OE?面

6． 3ACF；

（2）以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1) 证明：由题意可知：ED?面ABCD，