2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题带答案

点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.

8.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20 【答案】D 【解析】 【分析】

先从5个人里选1人，恰好摸到自己写卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.

【详解】根据题意，分2步分析：

B. 90

C. 15

D. 45

①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有C5种选法，

②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，

111所以不同的拿卡片的方法有C5?C3?C3?45种.

故选：D.

【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.

9.设双曲线的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的点，直线BO交双曲线于C点，若直线AC平分线段BF于M，则双曲线的离心率是（ ） A.

1 2B. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

的1C.

1 3D. 3

BF中点为M，连接OM，CF，则OM为?BCF的中位线，根据比例关系计算得到答案.

【详解】由题知BF中点为M，连接OM，CF，则OM为?BCF的中位线，于是得c?3a，∴e?3. 故选：D.

aOM1??，可c?aCF2

【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

??x2?ax,x?110.已知函数f?x???22，若存在x1,x2?R，且x1?x2，使f?x1??f?x2?，则实数a的取

?ax?7,x?1值范围是（ ） A. a?3 C. ?2?a?2 【答案】A 【解析】 【分析】

讨论a?2和a?2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当

B. ?2?a?3 D. a?2

a?1，即a?2时，函数f?x???x2?ax，在x?1上存在x1,x2?R，且x1?x2， 2使f?x1??f?x2?，所以a?2时满足题意；

当a?2时，需满足?1?a?a2?7，解得?2?a?3，即2?a?3； 综上：实数a的取值范围为a?3， 故选：A.

【点睛】本题考查了函数与方程问题，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 11.将函数f?x??sin?2?x???得到函数g?x?，???0,???0,2???图象上每点的横坐标变为原来的2倍，

函数g?x?的部分图象如图所示，且g?x?在?0,2??上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则?的取值范围是（ ）

A. ??713?,? ?1212?B. ?,? ?1212?D. ??713?C. ?,?

?1212?【答案】C 【解析】 【分析】

计算g?x??sin??x???，???1117??1117?,? 1212??2?5?2?7??2????，根据题意得到，计算得到答案.

3232?3?0,【详解】由已知得函数g?x??sin??x???，由g?x?图象过点??2??以及点在图象上的位置， ??知sin??2?2?2?2?3??x??2???，??，∵0?x?2?，∴，

333325?2?7??2????， 232由g?x?在?0,2??上恰有一个最大值和一个最小值，∴∴

1117???. 1212故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数伸缩变换，三角函数图像与性质，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

12.已知球O是三棱锥P?ABC的外接球，PA?AB?PB?AC?1，CP?2，点D是PB的中点，且

CD?7，则球O的表面积为（ ） 2B.

A.

7? 37? 6C.

721? 27D.

721? 54【答案】A 【解析】 【分析】

证明AC?平面PAB，以?PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.

【详解】由PA?AB?PB?AC?1，CP?2，得PA?AC.

73，又CD?，所以AD?AC，所以AC?平22由点D是PB的中点及PA?AB?PB，易求得AD?面PAB.

以?PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球， 球心O到底面?PAB的距离d?11AC?， 22由正弦定理得?PAB的外接圆半径r?PA1?，

2sin60?3所以球O的半径为R?故选：A.

d2?r2?7?72. ，所以球O的表面积为S?4?R?312【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若cos(??【答案】?【解析】

试题分析：sin(2??考点：二倍角公式

14.湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______. 【答案】【解析】 【分析】

设甲和乙到校的时刻分别为16时x分和16时y分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】设甲和乙到校的时刻分别为16时x分和16时y分，如图所示：?x,y?可以看成平面直角坐标系中

?1?)?，则sin(2??)的值是 ． 3367 9?????17)?sin[2(??)?]?cos2(??)?2cos2(??)?1?2??1??. 63233993 4