2020年高考理科数学大一轮提分课后限时集训39 基本不等式

基本不等式

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一、选择题

1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是( ) ba

A．若a，b∈R，则a＋b≥2

baa·b＝2

B．若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2lg x·lg y 4

C．若x＜0，则x＋x≥24x·x＝－4

D．若x＜0，则2x＋2－x＞22x· 2－x＝2

BD [A错误，∵a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，∵lg x4

和lg y一定是正实数，故可用基本不等式； C错误，∵x和x不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选BD.]

2．设0＜x＜2，则函数y＝x（4－2x）的最大值为( ) 2

A．2 B.2 C.3 D.2 D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，

11?2x＋4－2x?21

?＝×4＝2. ∴x(4－2x)＝2×2x(4－2x)≤2×?

22??当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立． 即函数y＝

x（4－2x）的最大值为2.] 2x·2－x

11

3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则m＋n的最小值为( ) A．3＋22

B．3＋2

1

C．2＋22 A [因为2m＋n＝1，

D．3

11?11?n2m

所以m＋n＝?m＋n?·(2m＋n)＝3＋m＋n≥3＋2

??n2m

m＝n，

n2m

当且仅当

m·n＝3＋22，

11

即n＝2m时等号成立，所以m＋n的最小值为3＋22，故选A.] 4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8

（a＋b）2B [法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4，当且仅当a

4＝b＝2时取等号，故选B.

11a?11?

法二：(常数代换法)由题意，得a＋b＝1，所以a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝2＋b＋

??b

a≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]

5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为

无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )

a＋b

A.2≥ab(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.

2ab

≤ab(a>0，b>0) a＋b

a2＋b2

2(a>0，b>0)

a＋bD.2≤

a＋ba＋b

D [由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝2，又OC＝OB－BC＝2

2

a－b－b＝2，

（a－b）2（a＋b）2a2＋b2

则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝2，

44a＋b

再根据题图知FO≤FC，即2≤选D.]

二、填空题

x

6．若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x＋3x＋1x?1?

?5，＋∞? [∵对任意x＞0，2≤a恒成立， ??x＋3x＋1x??

?∴对x∈(0，＋∞)，a≥?2，

x＋3x＋1max??而对x∈(0，＋∞)，

x1

＝≤21x＋3x＋1x＋＋3

2x

11

x·x＋3

1＝5，

a2＋b2

2，当且仅当a＝b时取等号．故

1

当且仅当x＝x时等号成立， 1∴a≥5.]

7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数

1

－y＝x2交

AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________．

?

3 [由题意得：P点坐标为?

?＝a3＋1a≥21， 3

a??

?，Q点坐标为?a，，a3??

1?

?，|AQ|＋|CP|a?

当且仅当a＝3时，取最小值．]

3

8．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则值为________．

（x＋1）（2y＋1）

的最小

xy

9（x＋1）（2y＋1）2xy＋2y＋x＋12xy＋55 [＝＝＝2＋2xyxyxyxy. 因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4， 所以x＋2y＝4≥2

x·2y，

即2xy≤2，0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立． 519所以2＋xy≥2＋5×2＝2，

（x＋1）（2y＋1）9所以的最小值为

xy2.] 三、解答题

9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．

82

[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x>0，y>0， 82则1＝x＋y≥2

828·＝，得xy≥64， xyxy

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立． 故xy的最小值为64.

(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝因为x＞0，y＞0，所以y＞2， 则x＋y＝y＋

8y16＝(y－2)＋＋10≥18， y－2y－2

16

，即y＝6，x＝12时等号成立． y－2

8yy－2

，

当且仅当y－2＝

4