2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题（解析版）

???fx所以??在?,x1?内单调递增，不符合题意．

2??所以当a??1时，f?x?在?综上可得a??1，

故a的取值范围为???,?1． 【点睛】

本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．

22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{an}定义如下： a1?1，

???,??内不单调递减． 2????an?,an为偶数,an?1??2

??an?m,an为奇数.（1）若m?5，写出a8，a9，a10；

（2）求证：数列{an}单调递增的充要条件是m为偶数； （3）若m为奇数，是否存在n?1满足an?1？请说明理由．

【答案】（1）a8?6，a9?3，a10?8；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析． 【解析】（1）m?5时，结合条件，注意求得a8，a9，a10； （2）根据an?1?an与零的关系，判断数列?an?单调递增的充要条件； （3）存在n?1满足an?1. 【详解】

（1）a8?6，a9?3，a10?8． （2）先证“充分性”．

当m为偶数时，若an为奇数，则an?1为奇数．

因为a1?1为奇数，所以归纳可得，对?n?N*，an均为奇数，则an?1?an?m， 所以an?1?an?m?0， 所以数列?an?单调递增． 再证“必要性”．

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假设存在k?N*使得ak为偶数，则ak?1?因此数列?an?中的所有项都是奇数．

ak?ak，与数列?an?单调递增矛盾， 2此时an?1?an?m，即m?an?1?an，所以m为偶数． （3）存在n?1满足an?1，理由如下：

因为a1?1，m为奇数，所以a2?1?m?2m且a2为偶数，a3?假设ak为奇数时， ak?m；ak为偶数时，ak?2m． 当ak为奇数时，ak?1?ak?m?2m，且ak?1为偶数； 当ak为偶数时，ak?1?1?m?m． 2ak?m． 2所以若ak?1为奇数，则ak?1?m；若ak?1为偶数，则ak?1?2m． 因此对?n?N*都有an?2m．

所以正整数数列?an?中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合A?{?r,s?|ar?as,r?s}，设集合B?{r?N|?r,s??A}?N．

**因为A??，所以B??．

令r1是B中的最小元素，下面证r1?1． 设r1?1且ar1?as1(r1?s1)．

当ar1?m时，ar1?1?2ar1，as1?1?2as1，所以ar1?1?as1?1； 当ar1?m时，ar1?1?ar1?m，as1?1?as1?m，所以ar1?1?as1?1． 所以若r1?1，则r1?1?B且r1?1?r1，与r1是B中的最小元素矛盾．

*所以r1?1，且存在1?s1?N满足as1?a1?1，即存在n?1满足an?1．

【点睛】

本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．

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