第2章2.1.3知能优化训练

→→

1．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，则a＋b等于( ) →→A.CA B.BC →→C.AB D.AC

→→→

解析：选D.a＋b＝AB＋BC＝AC.

2．下列非零向量的运算结果为零向量的是( ) →→→→→A.BC＋AB B.PM＋MN＋MP →→→→→→→→C.BC＋CA＋AB＋CD D.MP＋GM＋PQ＋QG

→→→→→

解析：选D.A中BC＋AB＝AB＋BC＝AC≠0；

→→→→→→→→

B中PM＋MN＋MP＝PN＋MP＝MP＋PN＝MN≠0；

→→→→→→→→

C中BC＋CA＋AB＋CD＝BA＋AB＋CD＝CD≠0；

→→→→→→

D中MP＋GM＋PQ＋QG＝GP＋PG＝0.

→→→→

3．化简AB－(DB－DC－CD)为( ) →→A.AB B.BA →→C.AD D.DA

→→→→→→→→→→→

解析：选C.AB－(DB－DC－CD)＝AB－DB＋DC＋CD＝AB＋BD＋0＝AD.

→→→→

4．已知OA＝a，OB＝b且|OA|＝5，|OB|＝12，∠AOB＝90°，|a－b|＝________，tan∠OBA＝________.

→

解析：如图|AB|＝13.

5

答案：13

12

一、选择题 →→→

1.AO＋BC＋OB等于( ) →A.AB

→B.AC →

C．0 D.AO

→→→→→→→→→

解析：选B.AO＋BC＋OB＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC. 2．下列等式一定能成立的是( ) →→→→→→A.AB＋AC＝BC B.AB－AC＝BC →→→→→→C.AB＋AC＝CB D.AB－AC＝CB

→→→→→

解析：选D.很容易看出A是不正确的；AB－AC＝CB，故B错误，D正确；又AB－CB→→→→→

＋AC＝AB＋BC＋AC＝2AC≠0，故C是错误的，故选D.

3．已知a、b是非零向量，下列说法正确的是( ) A．|a|－|b|＜|a－b| B．|a|－|b|＞|a－b| C．|a|＋|b|＞|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|

解析：选D.当a、b不共线时，如图有||AD|－|AB||＜|BD|＜|AD|＋|AB|，即||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，所以B错；当a、b同向时，有||a|－|b||＝|a－b|，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以A、C错．

→

4．下列四个式子中，不能化简为AD的是( )

→→→→→→→A．(AB＋CD)＋BC B．(AD＋MB)＋(BC＋CM) →→→→→→C.MB＋AD－BM D.OC－OA＋CD

→→→→→→→→→→→

解析：选C.(AB＋CD)＋BC＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD，故排除A；又(AD＋MB)→→→→→→→→→→→→→＋(BC＋CM)＝AD＋(MB＋BC＋CM)＝AD＋0＝AD，故排除B；而OC－OA＋CD＝AC＋CD＝→

AD，故排除D，故选C.

→→→→

5．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则必有( ) →A.AD＝0 →→B.AB＝0或AD＝0 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形

解析：选C.∵平行四边形ABCD中， →→→→|AB＋AD|＝|AB－AD|， →→

∴|AC|＝|DB|，即平行四边形ABCD对角线相等， ∴ABCD为矩形．

6．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3 km”，则向量a＋b表示( )

A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋3) km

解析：选B.如图，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b的方向是沿平行四边形的

1

对角线的方向，且tanα＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故

3

应选B.

二、填空题

7．给出下列运算： →→→

①AB－AC＋BC＝0； →→→

②AB－CB＋CA＝0； →→→→→③AB－(AC－BD)－CE＝ED； →→→→→④(AB－CD)－(AC－BC)＝CD.

其中，所有正确的序号是________．

→→→→→

解析：①AB－AC＋BC＝CB＋BC＝0，∴正确；

→→→→→→→→

②AB－CB＋CA＝CA＋AB－CB＝CB－CB＝0，∴正确； →→→→→→→→→→→→→→

③AB－(AC－BD)－CE＝AB－AC＋BD－CE＝CB＋BD－CE＝CD－CE＝ED，∴正确； →→→→→→→→→→→→

④(AB－CD)－(AC－BC)＝AB＋BC－(AC＋CD)＝AC－AD＝DC≠CD，∴不正确． 答案：①②③

→→→

8．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|＝________.

→→→→→→→→→→→→

解析：|AB＋FE＋CD|＝|ED＋FE＋CD|＝|AF＋FE＋ED|＝|AE＋ED|＝|AD|＝2. 答案：2

9．已知△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，有下列命题： →→→→→→→→①|AB－AC|＝|AB＋AC|；②|BC－BA|＝|CB－CA|； →→→→→→→→→→③|AB－CB|＝|AC－BC|；④|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2. 其中正确命题的序号为________．

→→→

解析：如图，①正确．因为|AB－AC|＝|CB|， →→→→|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|.

→→→→→→→

②正确．因为|BC－BA|＝|AC|，|CB－CA|＝|AB|＝|AC|.

→→→→→→→

③正确．|AB－CB|＝|AC|，|AC－BC|＝|AB|＝|AC|.

→→→→→→→

④正确．|AB－AC|2＝|CB|2，|BC－AC|2＋|CB－AB|2 →→→＝|BA|2＋|CA|2＝|CB|2. 所以①②③④都正确． 答案：①②③④ 三、解答题

10．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证明：已知四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD， 求证：四边形ABCD是平行四边形．

→→→→→→

证明：如图，设AO＝a，OD＝b，则OC＝AO＝a，BO＝OD＝b. →→→→→→

∴AD＝AO＋OD＝a＋b，BC＝BO＋OC＝b＋a. →→→

∴AD＝BC，又∵点B不在AD上， ∴AD∥BC，AD＝BC，

所以四边形ABCD是平行四边形． 11.

→→→

如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE＝

→→→→→

c，试用a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE.

解：∵四边形ACDE是平行四边形， →→

∴CD＝AE＝c， →→→→→→

BC＝AC－AB＝b－a，BE＝AE－AB＝c－a， →→→

CE＝AE－AC＝c－b， →→→

∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c.

→→→→→

12．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量OA、OB、OC、OD满足等式OA→→→

＋OC＝OB＋OD.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．

解：通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形． 证明如下：

→→→→∵OA＋OC＝OB＋OD， →→→→∴OA－OB＝OD－OC， →→

∴BA＝CD，∴AB綊CD，

∴四边形ABCD为平行四边形．