2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质课时练理

精选

答案 C

解析 由题意可知a＝b＝

2，∴c＝2.

2，

∵|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2∴|PF1|＝4

2，|PF2|＝2

2，|F1F2|＝4.

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

由余弦定理得cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|＝

4

2

2＋

22×4

22

2－42

2×23

＝，故选C. 4

9．[2016·武邑中学期中]设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的

24一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )

A．4

2

B．8

3

y2

C．24 答案 C

D．48

解析 双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝41

|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.

33

∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2， 11

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24，故选C.

2210．[2016·衡水中学期末]已知F1，F2是双曲线2－

x2y2b2

a＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，

b若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为( )

a5A. 2C.

2

B.

5

D．2

答案 B

解析 由题意可知渐近线为PF2的中垂线，设M为PF2的中点，所以OM⊥PF2.tan∠

MOF2＝

MF2bOMa＝，因为OF2＝c，所以MF2＝b，OM＝a.因此PF2＝2b，PF1＝2a，又因为

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cPF2－PF1＝2a，所以b＝2a，则c2＝a2＋b2＝5a2，即c＝5a，故e＝＝5.

a11．[2016·冀州中学期末]若双曲线2－x2y2

ab2

＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的

1

距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为________．

4

答案

233 解析 双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc－a×0|1

＝×2c，所以c＝2b，a＝224b＋ac2－b2＝y2

3b，所以e＝＝c23

a＝

23

3

.

12．[2016·衡水中学预测]双曲线2－x2

ab2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，

→

左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1→→

|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．

答案

2

→

→

→

?b2?

解析 由题意可知|PA1|2＝|F1F2|×|A1F2|，即??2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，又c2＝a2＋b2，

a??

则a2＝b2，所以e＝＝

cc2

aa2

＝a2＋b2

a2

＝2.

能力组

13.[2016·枣强中学热身]双曲线C：2－x2y2

ab2

＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)相

交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )

A.

2 2

B．1＋D．2＋

2 2

C．2答案 B

?p?p，0??解析 抛物线的焦点为F，且c＝，所以p＝2c.根据对称性可知公共弦AB⊥x2?2?

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?p?

轴，且AB的方程为x＝，当x＝时，yA＝p，所以A?，p?.又因为双曲线左焦点F1的坐

22?2??p?

标为?－，0?，所以|AF1|＝?2?

即(2－1)×2c＝2a，所以＝pp?pp?

?－－?2＋p2＝2p，又|AF|＝p，所以2p－p＝2a，?22?

12－1

＝

2＋1，选B.

ca14．[2016·衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方

2程是( )

A.

－＝1 1224

x2

x2y2

B.

－＝1 1224－＝1 2412

y2x2

C.

－＝1 2412

y2x2

D.

x2y2

答案 B

解析 设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点

2在y轴上，所以λ＝－12，选B.

2

或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A、D，又－y2＝1的渐近线为y＝±x，

22故选B.

15．[2016·衡水中学一轮检测]已知双曲线2－x2

x2

x2y2b2

a＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为

F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )

A．|OA|>|OB| B．|OA|<|OB| C．|OA|＝|OB|

D．|OA|与|OB|大小关系不确定 答案 C

解析 如图，由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，

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11

则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，

22又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，

则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|， 故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a， 设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a， 解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C. 16. [2016·冀州中学模拟]已知F1，F2为双曲线2－

x2y2

ab2

＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作

垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．

答案 y＝±

2x

解析 解法一：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入方程得y0＝±2b2

＝.

b2a，∵PQ⊥x轴，∴|PQ|

a在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°， ∴|F1F2|＝

3|PF2|，即2c＝

3·

b2a.

又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)， ∵a>0，b>0，∴＝ba2.

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