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向量的数量积和坐标运算

??a,b是两个非零向量，它们的夹角为?，则数|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积（或内

积），记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?. 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则

??①a?b?x1x2?y1y2?z1z2；

②|a|?x1?y1?z1,|b|?x2?y2?z2；

??③a?b?x1x2?y1y2?z1z2

222222④cos?a,b??x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

1.2. 异面直线m,n所成的角

????分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角?等于向量a,b所成的角或其补角

??|a?b|?. （如图1所示），则cos???|a|?|b|1.3. 异面直线m、n的距离

????分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的

CaAnm

nD图1 bB向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d?|AB?n||n|.

1.4. 直线L与平面?所成的角

在L上取定AB，求平面?的法向量n（如图2所示），再求cos??为所求的角.

|AB?n||AB|?|n|，则???2??精品文档

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1.5． 二面角

方法一：构造二面角??l??的两个半平面?、?的法向量

?ln1n2?，则 n1、n2（都取向上的方向，如图3所示）

图3甲

① 若二面角??l??是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos???学广东卷第18题第（1）问）.

n1?n2|n1|?|n2|.（例如2004年高考数

② 若二面角??l??是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即cos??

n1?n2|n1|?|n2|.

n2n1?l 图3乙 ?③ 方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面?、?内求出与l垂直的向量n1、，则二面角??l??的大小等于向量n2（如图4所示）

?n2n1、n2的夹角，即 cos??n1?n2|n1|?|n2|.

BlAn1图4

?1.6. 平面外一点p到平面?的距离

先求出平面?的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平面

pn?的距离d等于AP在n上的射影长，即d?

|AP?n||n|.

A图5 ?练习

1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ．

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AA1?2AB，2.如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，则异面直线A1B与AD1D1 C1

所成角的余弦值为（ ） A1 1234A． B． C． D．

5555

C D

A B 3．，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且

EF=GH=MN,求证：SA?BC,SB?AC,SC?AB.

4．如图2，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．

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5．如图3，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，?ACB?90°，侧棱AA1?2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．

6．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且PQ?2，确定

P，Q的位置，使QB1?PD1．

7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90°，SA?面ABCD，

SA?AB?BC?1，AD?1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值． 2

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